СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2015 Вариант 2

СУНЦ МГУ школа Колмогорова

Март 2015 год

ФизМат вариант 2

1. Решить неравенство \[ \frac{\sqrt{x}}{x - 3} \le 2\sqrt{x}. \]
2. В каждую из \(n\) точек с координатами \(x = 1,\, x = 2,\, \ldots,\, x = n\) положили по одному камню в порядке возрастания их веса. Вес самого легкого камня равен 4 кг. Вес каждого следующего камня меньше на 2 кг, чем удвоенный вес предыдущего. Найти суммарный вес первых 9 камней. Для каких \(n\) (\(8 < n < 16\)) камни можно разложить на две кучи одинакового веса?
3. В трапеции основания относятся как \(2:3\), а диагонали — \(3:4\). Прямые, проведённые через боковые стороны, перпендикулярны. Найти отношение длин боковых сторон.
4. Какое наименьшее значение может принять выражение \[ (1 - u^2)\sqrt{1 - v^2} \;-\; (1 - v^2)\sqrt{1 - u^2}\;? \]
5. Вася, выходя из школы, посмотрел на часы и увидел, что прямая, делящая пополам угол между часовой и минутной стрелкой, проходит через цифру 3. Когда он пришёл домой, прямая, делящая пополам угол между часовой и минутной стрелкой, проходила через отметку, соответствующую 41 минуте. Сколько времени шёл Вася из дома до школы, если известно, что он вышел после 17:00, а домой пришёл до 18:00?

Решения задач

1. Решить неравенство \[ \frac{\sqrt{x}}{x - 3} \le 2\sqrt{x}. \]
   Решение: Область определения: \( x \geq 0 \), \( x \neq 3 \). Преобразуем неравенство: \[ \frac{\sqrt{x}}{x - 3} - 2\sqrt{x} \leq 0 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{x} \cdot \frac{7 - 2x}{x - 3} \leq 0. \] Метод интервалов даёт решение: \[ x \in [0, 3) \cup [3.5, +\infty). \] Ответ: \( x \in [0, 3) \cup [3.5, +\infty) \).
2. Суммарный вес первых 9 камней:
   Решение: Рекуррентная формула \(a_1 = 4\), \(a_n = 2a_{n-1} - 2\). Последовательность: \[ 4, 6, 10, 18, 34, 66, 130, 258, 514. \] Сумма: \[ 4 + 6 + 10 + 18 + 34 + 66 + 130 + 258 + 514 = 1040 \text{ кг.} \]
   Для \( n = 9 \) сумма делится пополам (\(514 + 6 = 520\)). Для \( n = 13 \) сумма также делится (\(8194 + 10 = 8204\)).
   Ответ: суммарный вес 1040 кг; разложение возможно при \( n = 9 \) и \( n = 13 \).
3. Отношение длин боковых сторон трапеции:
   Решение: Введя координаты и условия перпендикулярности, получим: \[ \frac{AB}{CD} = \frac{\sqrt{51}}{18}. \] Ответ: \( \sqrt{51} : 18 \).
4. Наименьшее значение выражения:
   Решение: Преобразуя выражение через параметры \( a = \sqrt{1 - u^2} \), \( b = \sqrt{1 - v^2} \): \[ (1 - u^2)\sqrt{1 - v^2} - (1 - v^2)\sqrt{1 - u^2} = ab(a - b). \] Минимум достигается при \( a = \frac{\sqrt{3}}{2} \), \( b = 1 \):
   Ответ: \( -\frac{1}{4} \).
5. Время пути Васи:
   Решение: Биссектриса угла между стрелками через цифру 3 соответствует 15 минутам. Приход через отметку 41 минуту:
   Время в пути: \( 41 - 15 = 26 \) минут.
   Ответ: 26 минут.