СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2015 год вариант 1

СУНЦ МГУ школа Колмогорова

Март 2015 год

ФизМат вариант 1

1. Решить неравенство \[ \frac{\sqrt{x}}{x - 2} \le 3\sqrt{x}. \]
2. В каждую из \(n\) точек с координатами \(x = 1,\, x = 2,\, \ldots,\, x = n\) положили по одному камню в порядке возрастания их веса. Вес самого лёгкого камня равен 3\,кг. Вес каждого следующего камня меньше на 1 кг, чем удвоенный вес предыдущего камня. Найти суммарный вес первых 10 камней. Для каких \(n\) (\(9 < n < 16\)) камни можно разложить на две кучи одинакового веса?
3. В трапеции основания относятся как \(1:3\), а диагонали — \(2:3\). Прямые, проведённые через боковые стороны, перпендикулярны. Найти отношение длин боковых сторон.
4. Какое наибольшее значение может принять выражение \[ (1 - a^2)\sqrt{1 - b^2} \;-\; (1 - b^2)\sqrt{1 - a^2}\;? \]
5. Петя, выходя из дома, посмотрел на часы и увидел, что прямая, делящая пополам угол между часовой и минутной стрелкой, проходит через цифру 12. Когда он пришёл в школу, прямая, делящая пополам угол между часовой и минутной стрелкой, проходила через отметку, соответствующую 13 минутам. Сколько времени шёл Петя из дома до школы, если известно, что он вышел после 8:00, а в школу пришёл до 9:00?

Решения задач

1. Решить неравенство \[ \frac{\sqrt{x}}{x - 2} \le 3\sqrt{x}. \]
   Решение: Запишем неравенство в виде: \[ \frac{\sqrt{x}}{x - 2} - 3\sqrt{x} \le 0 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{x} \left( \frac{1}{x - 2} - 3 \right) \le 0. \] Рассмотрим область допустимых значений: \(x \ge 0\), \(x \ne 2\).
   Упростим выражение в скобках: \[ \frac{1 - 3(x - 2)}{x - 2} = \frac{7 - 3x}{x - 2}. \] Исходное неравенство принимает вид: \[ \sqrt{x} \cdot \frac{7 - 3x}{x - 2} \le 0. \] Решим методом интервалов. Нули числителя: \(x = 0\), \(x = \frac{7}{3}\); знаменателя: \(x = 2\).
   Разбиваем числовую ось на интервалы: \[ [0; 2) \cup \left(2; \frac{7}{3}\right] \cup \left[\frac{7}{3}; +\infty\right). \] Определяем знаки выражения: - При \(x \in [0; 2)\): \(\sqrt{x} \ge 0\), \(7 - 3x > 0\), \(x - 2 < 0 \quad \Rightarrow\) выражение \(\le 0\).
   - При \(x \in \left(2; \frac{7}{3}\right]\): \(\sqrt{x} > 0\), \(7 - 3x \ge 0\), \(x - 2 > 0 \quad \Rightarrow\) выражение \(\le 0\).
   - При \(x \ge \frac{7}{3}\): \(\sqrt{x} \ge 0\), \(7 - 3x \le 0\), \(x - 2 > 0 \quad \Rightarrow\) выражение \(\le 0\).
   Учитывая ОДЗ и включение граничных точек \(x = 0\), \(x = \frac{7}{3}\) (не попадают в исключения), получаем ответ: \[ x \in [0; 2) \cup \left[\frac{7}{3}; +\infty\right). \] Ответ: \(x \in [0; 2) \cup \left[\frac{7}{3}; +\infty\right).\)
   
   
2. Вес камней образует последовательность: \(a_1 = 3\), \(a_{n+1} = 2a_n - 1\). Сумма первых 10 камней: \[ S_{10} = 3 + 5 + 9 + 17 + 33 + 65 + 129 + 257 + 513 + 1025 = 2056 \, \text{кг}. \] Для разложения на две равные кучи сумма первых \(n\) камней должна быть чётной.
   Формула суммы первых \(n\) камней: \(S_n = 2^{n+1} + n - 2\). Проверив для \(9 < n < 16\), получаем чётные суммы при \(n = 10, 12, 14\).
   Ответ: Суммарный вес 2056 кг; при \(n = 10, 12, 14\).
   
   
3. Пусть основания трапеции \(AD = 3a\), \(BC = a\), диагонали \(AC = 2k\), \(BD = 3k\). Используя координатный метод и условия перпендикулярности боковых сторон, находим отношение длин боковых сторон \(AB:CD = \boxed{2} : \boxed{1}\).
   Ответ: \(2:1\).
   
   
4. Максимальное значение выражения \( (1 - a^2)\sqrt{1 - b^2} - (1 - b^2)\sqrt{1 - a^2} \) достигается при \(a = 0\), \(b = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Подставляя, получаем: \[ (1 - 0)\sqrt{1 - \frac{3}{4}} - (1 - \frac{3}{4})\sqrt{1 - 0} = 1 \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \cdot 1 = \frac{1}{4}. \] Ответ: \(\frac{1}{4}\).
   
   
5. Пусть Петя вышел в \(8\) часов \(t\) минут. Угол между стрелками: часовая \(30 \cdot 8 + 0,5t\), минутная \(6t\). Биссектриса угла направлена на \(12\): \(\frac{30 \cdot 8 + 0,5t + 6t}{2} = 0 \, \Rightarrow \, t = \frac{240}{6,5} \approx 36,92 \, (8:36:55)\). Пришёл в школу, когда биссектриса указала \(13\) минут (\(78^\circ\)): аналогично находим время прибытия \(8:50:47\). Разница: \(13\) минут \(52\) секунды.
   Ответ: \(\boxed{13}\) минут \(\boxed{52}\) секунды.