СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2015 Вариант 1

СУНЦ МГУ школа Колмогорова

Март 2015 год

ФизМат вариант 1

1. Решить неравенство \[ \frac{\sqrt{x}}{x - 2} \le 3\sqrt{x}. \]
2. В каждую из \(n\) точек с координатами \(x = 1,\, x = 2,\, \ldots,\, x = n\) положили по одному камню в порядке возрастания их веса. Вес самого лёгкого камня равен 3\,кг. Вес каждого следующего камня меньше на 1\,кг, чем удвоенный вес предыдущего камня. Найти суммарный вес первых 10 камней. Для каких \(n\) (\(9 < n < 16\)) камни можно разложить на две кучи одинакового веса?
3. В трапеции основания относятся как \(1:3\), а диагонали — \(2:3\). Прямые, проведённые через боковые стороны, перпендикулярны. Найти отношение длин боковых сторон.
4. Какое наибольшее значение может принять выражение \[ (1 - a^2)\sqrt{1 - b^2} \;-\; (1 - b^2)\sqrt{1 - a^2}\;? \]
5. Петя, выходя из дома, посмотрел на часы и увидел, что прямая, делящая пополам угол между часовой и минутной стрелкой, проходит через цифру 12. Когда он пришёл в школу, прямая, делящая пополам угол между часовой и минутной стрелкой, проходила через отметку, соответствующую 13 минутам. Сколько времени шёл Петя из дома до школы, если известно, что он вышел после 8:00, а в школу пришёл до 9:00?

Решения задач

1. Решить неравенство \[ \frac{\sqrt{x}}{x - 2} \le 3\sqrt{x}. \]
   Решение: Запишем неравенство в виде: \[ \frac{\sqrt{x}}{x - 2} - 3\sqrt{x} \le 0 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{x} \left( \frac{1}{x - 2} - 3 \right) \le 0. \] Рассмотрим область допустимых значений: \(x \ge 0\), \(x \ne 2\).
   Упростим выражение в скобках: \[ \frac{1 - 3(x - 2)}{x - 2} = \frac{7 - 3x}{x - 2}. \] Исходное неравенство принимает вид: \[ \sqrt{x} \cdot \frac{7 - 3x}{x - 2} \le 0. \] Решим методом интервалов. Нули числителя: \(x = 0\), \(x = \frac{7}{3}\); знаменателя: \(x = 2\).
   Разбиваем числовую ось на интервалы: \[ [0; 2) \cup \left(2; \frac{7}{3}\right] \cup \left[\frac{7}{3}; +\infty\right). \] Определяем знаки выражения: - При \(x \in [0; 2)\): \(\sqrt{x} \ge 0\), \(7 - 3x > 0\), \(x - 2 < 0 \quad \Rightarrow\) выражение \(\le 0\).
   - При \(x \in \left(2; \frac{7}{3}\right]\): \(\sqrt{x} > 0\), \(7 - 3x \ge 0\), \(x - 2 > 0 \quad \Rightarrow\) выражение \(\le 0\).
   - При \(x \ge \frac{7}{3}\): \(\sqrt{x} \ge 0\), \(7 - 3x \le 0\), \(x - 2 > 0 \quad \Rightarrow\) выражение \(\le 0\).
   Учитывая ОДЗ и включение граничных точек \(x = 0\), \(x = \frac{7}{3}\) (не попадают в исключения), получаем ответ: \[ x \in [0; 2) \cup \left[\frac{7}{3}; +\infty\right). \] Ответ: \(x \in [0; 2) \cup \left[\frac{7}{3}; +\infty\right).\)
   
   
2. Вес камней образует последовательность: \(a_1 = 3\), \(a_{n+1} = 2a_n - 1\). Сумма первых 10 камней: \[ S_{10} = 3 + 5 + 9 + 17 + 33 + 65 + 129 + 257 + 513 + 1025 = 2056 \, \text{кг}. \] Для разложения на две равные кучи сумма первых \(n\) камней должна быть чётной.
   Формула суммы первых \(n\) камней: \(S_n = 2^{n+1} + n - 2\). Проверив для \(9 < n < 16\), получаем чётные суммы при \(n = 10, 12, 14\).
   Ответ: Суммарный вес 2056 кг; при \(n = 10, 12, 14\).
   
   
3. Пусть основания трапеции \(AD = 3a\), \(BC = a\), диагонали \(AC = 2k\), \(BD = 3k\). Используя координатный метод и условия перпендикулярности боковых сторон, находим отношение длин боковых сторон \(AB:CD = \boxed{2} : \boxed{1}\).
   Ответ: \(2:1\).
   
   
4. Максимальное значение выражения \( (1 - a^2)\sqrt{1 - b^2} - (1 - b^2)\sqrt{1 - a^2} \) достигается при \(a = 0\), \(b = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Подставляя, получаем: \[ (1 - 0)\sqrt{1 - \frac{3}{4}} - (1 - \frac{3}{4})\sqrt{1 - 0} = 1 \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \cdot 1 = \frac{1}{4}. \] Ответ: \(\frac{1}{4}\).
   
   
5. Пусть Петя вышел в \(8\) часов \(t\) минут. Угол между стрелками: часовая \(30 \cdot 8 + 0,5t\), минутная \(6t\). Биссектриса угла направлена на \(12\): \(\frac{30 \cdot 8 + 0,5t + 6t}{2} = 0 \, \Rightarrow \, t = \frac{240}{6,5} \approx 36,92 \, (8:36:55)\). Пришёл в школу, когда биссектриса указала \(13\) минут (\(78^\circ\)): аналогично находим время прибытия \(8:50:47\). Разница: \(13\) минут \(52\) секунды.
   Ответ: \(\boxed{13}\) минут \(\boxed{52}\) секунды.