СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2014 Вариант 2

СУНЦ МГУ школа Колмогорова

Март 2014 год

ФизМат вариант 2

1. Найдите площадь фигуры, расположенной на координатной плоскости и состоящей из точек с координатами \((x,y)\), удовлетворяющих неравенству \[ 3\bigl| -x \bigr| + \bigl|y\bigr| \le 1. \]
2. На конкурсе «В гостях у сказки» детям выдали некоторое количество чистых листов бумаги. На одних листах дети нарисовали только Кощея Бессмертного, на других — только Бабу Ягу, на третьих — Кощея Бессмертного и Бабу Ягу вместе, а 30 листов остались чистыми. Среди всех рисунков изображение Кощея можно увидеть на 65% рисунков, а на 15% рисунков они были нарисованы вместе. Доля тех листов, на которых имеется изображение Бабы Яги, от общего числа выданных листов бумаги составила \(\frac{7}{16}\). Сколько всего листов было выдано детям?
3. В выпуклом четырёхугольнике \(KLMN\) диагонали пересекаются в точке \(P\), причём \(PM = PN\). Найдите угол между прямой \(MN\) и биссектрисой угла \(\angle LKM\), если известен угол \(\angle KLP = 68^\circ\).
4. Пусть \(S_m\) — сумма первых \(m\) членов арифметической прогрессии. Найти \(n\) — число членов этой прогрессии и её первый член, если известно, что \[ S_n = 65, \quad \frac{S_1}{1} + \frac{S_2}{2} + \dots + \frac{S_n}{n} = 50, \] и разность прогрессии равна 3.
5. Пусть \(t_1, t_2\) — корни квадратного уравнения \(t^2 - t - 4 = 0\). Известно, что \[ t_1^5 + 29\,t_2 \] является целым числом. Найдите это число.

Решения задач

1. Найдите площадь фигуры, расположенной на координатной плоскости и состоящей из точек с координатами \((x,y)\), удовлетворяющих неравенству \[ 3\bigl| -x \bigr| + \bigl|y\bigr| \le 1. \]
   Решение: Неравенство можно записать в виде \(3|x| + |y| \leq 1\). Это определяет ромб с вершинами в точках \(\left(\frac{1}{3}, 0\right)\), \(\left(-\frac{1}{3}, 0\right)\), \((0, 1)\), \((0, -1)\). Длины диагоналей ромба: горизонтальная \( \frac{2}{3} \), вертикальная \( 2 \). Площадь ромба равна половине произведения диагоналей: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}. \]
   Ответ: \(\frac{2}{3}\).
2. На конкурсе «В гостях у сказки» детям выдали некоторое количество чистых листов бумаги. На одних листах дети нарисовали только Кощея Бессмертного, на других — только Бабу Ягу, на третьих — Кощея Бессмертного и Бабу Ягу вместе, а 30 листов остались чистыми. Среди всех рисунков изображение Кощея можно увидеть на 65% рисунков, а на 15% рисунков они были нарисованы вместе. Доля тех листов, на которых имеется изображение Бабы Яги, от общего числа выданных листов бумаги составила \(\frac{7}{16}\). Сколько всего листов было выдано детям?
   Решение: Обозначим общее число листов как \( N \). Использовано \( N - 30 \) листов. Пусть:
   • \( K \) — листы с Кощеем,
   • \( B \) — листы с Бабой Ягой,
   • \( C \) — листы с обоими персонажами.
   Из условия: \[ K + C = 0{,}65(N - 30), \quad C = 0{,}15(N - 30), \quad B + C = \frac{7}{16}N. \] Выразим \( K = 0{,}5(N - 30) \). Тогда: \[ K + B + C = N - 30 \implies 0{,}5(N - 30) + B + 0{,}15(N - 30) = N - 30 \implies B = 0{,}35(N - 30). \] Уравнение для Бабы Яги: \[ 0{,}5(N - 30) = \frac{7}{16}N \implies 8(N - 30) = 7N \implies N = 240. \]
   Ответ: 240.
3. В выпуклом четырёхугольнике \(KLMN\) диагонали пересекаются в точке \(P\), причём \(PM = PN\). Найдите угол между прямой \(MN\) и биссектрисой угла \(\angle LKM\), если известен угол \(\angle KLP = 68^\circ\).
   Решение: Поскольку \( PM = PN \), точка \( P \) — середина \( MN \). Биссектриса угла \( \angle LKM \) делит его пополам. Из свойства биссектрисы и равенства треугольников \( \triangle PMN \) следует, что угол между \( MN \) и биссектрисой равен половине \( \angle KLP \): \[ 90^\circ - 68^\circ = 22^\circ. \]
   Ответ: \(22^\circ\).
4. Пусть \(S_m\) — сумма первых \(m\) членов арифметической прогрессии. Найти \(n\) — число членов этой прогрессии и её первый член, если известно, что \[ S_n = 65, \quad \frac{S_1}{1} + \frac{S_2}{2} + \dots + \frac{S_n}{n} = 50, \] и разность прогрессии равна 3.
   Решение: Пусть \( a_1 \) — первый член прогрессии. Тогда сумма первых \( k \) членов: \[ S_k = \frac{(2a_1 + 3(k - 1))k}{2}. \] Уравнения: \[ \sum_{k=1}^n \frac{S_k}{k} = 50 \implies a_1 n + \frac{3}{4}n(n - 1) = 50, \] \[ \frac{(2a_1 + 3(n - 1))n}{2} = 65 \implies 2a_1 + 3(n - 1) = \frac{130}{n}. \] Решая систему, находим: \[ n = 5, \quad a_1 = 7. \]
   Ответ: \(n = 5\), первый член равен 7.
5. Пусть \(t_1, t_2\) — корни квадратного уравнения \(t^2 - t - 4 = 0\). Известно, что \[ t_1^5 + 29\,t_2 \] является целым числом. Найдите это число.
   Решение: Используем рекуррентное соотношение для степеней корней: \[ t_1^2 = t_1 + 4, \quad t_1^5 = 29t_1 + 36. \] Подставляя в выражение: \[ t_1^5 + 29t_2 = 29t_1 + 36 + 29t_2 = 29(t_1 + t_2) + 36 = 29 \cdot 1 + 36 = 65. \]
   Ответ: 65.