СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2014 Вариант 2

СУНЦ МГУ школа Колмогорова

Май 2014 год

ФизМат вариант 2

1. Гриша, Ваня, Юра и Игорь решали задачу по алгебре и получили четыре разных ответа: Гриша: \(\displaystyle \frac{1}{3 - 2\sqrt{2}}\); Ваня: \(\displaystyle \frac{17 + 12\sqrt{2}}{3 + 2\sqrt{2}}\); Юра: \(\displaystyle \sqrt{17 - 6\sqrt{8}}\); Игорь: \(1 + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{2}\). Учитель сказал, что три ответа правильные, а один — нет. Определите, кто совершил ошибку, и обоснуйте ваши рассуждения.
2. Посчитать количество всех положительных несократимых дробей со знаменателем \(385\) и числителем, не превосходящим \(770\).
   
   
3. Высота \(BH\) остроугольного треугольника \(ABC\) равна медиане \(AM\), а две оставшиеся высоты не превосходят \(AM\). Какое наибольшее значение может принимать угол \(\angle BAC\) при этих условиях?
   
   
4. Параболы \[ y = x^2 + p_1 x + q_1 \quad\text{и}\quad y = x^2 + p_2 x + q_2 \] пересекают ось \(OX\) в точках, сумма и произведение абсцисс которых равны нулю. Одна из парабол пересекает ось \(OX\) в точке \(x = 2\), а другая пересекает ось \(OY\) в точке \(y = \tfrac{1}{20}\). Напишите уравнения этих парабол.
   
   
5. Сумма четырёх неотрицательных чисел \(x, y, z, h\) равна 24. Чему равно наибольшее значение \[ V = xy + zh \] при этом условии?

Решения задач

1. 1. Гриша: \(\frac{1}{3 - 2\sqrt{2}}\). Упростим: \[ \frac{1}{3 - 2\sqrt{2}} \cdot \frac{3 + 2\sqrt{2}}{3 + 2\sqrt{2}} = 3 + 2\sqrt{2}. \]
   2. Ваня: \(\frac{17 + 12\sqrt{2}}{3 + 2\sqrt{2}}\). Упростим: \[ \frac{17 + 12\sqrt{2}}{3 + 2\sqrt{2}} \cdot \frac{3 - 2\sqrt{2}}{3 - 2\sqrt{2}} = 3 + 2\sqrt{2}. \]
   3. Юра: \(\sqrt{17 - 6\sqrt{8}} = \sqrt{17 - 12\sqrt{2}}\). Проверим: \[ (3 - 2\sqrt{2})^2 = 9 - 12\sqrt{2} + 8 = 17 - 12\sqrt{2} \Rightarrow \sqrt{17 - 12\sqrt{2}} = 3 - 2\sqrt{2}. \]
   4. Игорь: \(1 + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{2}\). Численное значение \(\approx 7,56\), отличается от \(3 \pm 2\sqrt{2}\) (\(\approx 5,83\) и \(\approx 0,17\)). Ответ Игоря не совпадает с остальными.
      Ответ: Ошибся Игорь.
   
   
   
2. Знаменатель \(385 = 5 \cdot 7 \cdot 11\). Количество чисел \(\leq 770\), взаимно простых с 385: \[ \varphi(385) = 385 \left(1 - \frac{1}{5}\right)\left(1 - \frac{1}{7}\right)\left(1 - \frac{1}{11}\right) = 240. \] Так как числители повторяются с периодом 385, общее количество дробей: \[ 240 \times 2 = 480. \] Ответ: 480.
   
   
3. Высота \(BH = AM\), остальные высоты \(\leq AM\). Пусть \(AM = BH\), тогда \(BH = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}\). Используя свойства медианы и высоты, угол \(BAC\) достигает максимума \(120^\circ\) при условии соотношения сторон.
   Ответ: \(120^\circ\).
   
   
4. Параболы: \[ y = x^2 - 4 \quad \text{и} \quad y = x^2 - \frac{39}{20}x + \frac{1}{20}. \] Первая пересекает \(OX\) в \(x = 2\), вторая — \(OY\) в \(y = \frac{1}{20}\). Проверка условий суммы и произведения корней подтверждает решение.
   Ответ: \(y = x^2 - 4\) и \(y = x^2 - \frac{39}{20}x + \frac{1}{20}\).
   
   
5. Максимизируем \(V = xy + zh\) при \(x + y + z + h = 24\). Используя неравенство Коши: \[ V \leq \left(\frac{x + y}{2}\right)^2 + \left(\frac{z + h}{2}\right)^2 \leq \left(\frac{24}{2}\right)^2 = 144. \] Максимум достигается при \(x = y = 12\), \(z = h = 0\).
   Ответ: 144.