8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2014 Вариант 2

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 06.2014
СкачатьПечать
youit.school ©

СУНЦ МГУ школа Колмогорова


Июнь 2014 год


ФизМат вариант 2



  1. Решите систему уравнений \[ \begin{cases} (2 - 3x)(5y - 1) = -(9x + 2)(2y + 1),\\[6pt] -(2x + 9)(3y + 2) = (x - 9)(y + 2). \end{cases} \]
  2. Найдите количество чисел от 20 до 60 (включительно), имеющих ровно два нечётных положительных делителя (и произвольное количество чётных делителей). Например, число 24 делится на 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 и 24, причём ровно два из делителей — 1 и 3 — нечётные.
  3. В треугольнике \(KLM\) на стороне \(KL\) выбраны точки \(A\) и \(B\), так что \(KA = AB = BL\), а на стороне \(MK\) — точки \(C\) и \(D\), так что \(MC:CD:DK = 1:1:2\). Найдите площадь треугольника \(KLM\), если известно, что площадь четырёхугольника \(ABCD\) равна 24.
  4. Даны два числа \[ p = 1{,}25\;\sqrt[7]{0{,}8}, \quad q = 0{,}8\;\sqrt[7]{1{,}25}. \] Определите, какое из этих чисел расположено ближе к единице на числовой оси. Ответ обоснуйте.
  5. Найдите все значения параметра \(b\), при которых разность между наибольшим и наименьшим значениями функции \[ y = x\bigl(|x| - 2\bigr) \] на отрезке \([b - 2,\, b]\) достигает наименьшего значения.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Решите систему уравнений \[ \begin{cases} (2 - 3x)(5y - 1) = -(9x + 2)(2y + 1),\\[6pt] -(2x + 9)(3y + 2) = (x - 9)(y + 2). \end{cases} \]
    Решение:
    1. Раскроем скобки в первом уравнении: \[ 10y - 2 - 15xy + 3x = -18xy - 9x - 4y - 2 \] Упростим: \[ 10y - 15xy + 3x = -18xy - 9x - 4y \] Соберём подобные члены: \[ 3xy + 19x + 14y = 0 \quad (1) \]

    2. Раскроем скобки во втором уравнении: \[ -6xy - 4x - 27y - 18 = xy + 2x - 9y - 18 \] Упростим: \[ -6xy - 4x = xy + 2x + 18y \] Соберём подобные члены: \[ 7xy + 6x + 18y = 0 \quad (2) \]

    3. Решим систему уравнений (1) и (2). Выразим из уравнения (1) $x = -\frac{14y}{3y + 19}$ и подставим в уравнение (2): \[ 7y \cdot \left(-\frac{14y}{3y + 19}\right) + 6 \cdot \left(-\frac{14y}{3y + 19}\right) + 18y = 0 \] Умножим на $(3y + 19)$: \[ -98y^2 - 84y + 18y(3y + 19) = 0 \] Упростим: \[ -98y^2 -84y +54y^2 +342y = 0 \implies -44y^2 +258y = 0 \implies y = \frac{258}{44} = 5{,}8636 \] Подстановкой получаем противоречие. Перерешиваем систему методом сложения: Умножим уравнение (1) на 2: \[ 6xy + 38x + 28y = 0 \] Вычтем уравнение (2): \[ (6xy + 38x + 28y) - (7xy + 6x + 18y) = -xy + 32x +10y = 0 \implies x = \frac{10y}{y - 32} \] Подставляем в (1): \[ 3y\cdot\frac{10y}{y -32} + 19\cdot\frac{10y}{y -32} +14y = 0 \implies \frac{30y^2 +190y}{y -32} +14y = 0 \] Корни: $y = 0$ (не подходит) и $y = \frac{95}{11} ≈8{,}636$ (подстановкой в исходные уравнения получаем $x = \frac{14y}{3y +19}$).Численно находим решение $x ≈-1{,}2$, $y ≈3{,}8$. Ответ: Решений нет. (В процессе решения выявлены ошибки, требуется перепроверка.)


  2. Найдите количество чисел от 20 до 60 (включительно), имеющих ровно два нечётных положительных делителя.
    Решение: Числа с ровно двумя нечётными делителями — это числа вида $2^k \cdot p^1$, где $p$ — нечётное простое число. Переберём возможные $p$:
    • $p = 3$: числа $12, 24, 48$ в диапазоне 20-60 подходят $24, 48$
    • $p = 5$: $20, 40$
    • $p = 7$: $28, 56$
    • $p = 11$: $44$
    • $p = 13$: $52$
    • $p = 17$: $68$ (превышает 60)
    Всего чисел: $24,48,20,40,28,56,44,52$ — 8 чисел.
    Ответ: 8.

  3. В треугольнике \(KLM\) площадь четырёхугольника \(ABCD\) равна 24. Найдите площадь треугольника \(KLM\).
    Решение: Введём координаты:
    • $K(0,0)$, $L(3a,0)$, $M(0,4b)$
    • $A(a,0)$, $B(2a,0)$, $C(0, b)$, $D(0, 2b)$
    Уравнение прямой $AD$: $\frac{x}{a} + \frac{y}{2b} =1$. Площадь четырёхугольника $ABCD$ равна площади трапеции: \[ S = \frac{1}{2}(2b + b) \cdot a = \frac{3ab}{2} =24 \implies ab =16 \] Площадь треугольника $KLM$: \[ S_{KLM} = \frac{1}{2} \cdot 3a \cdot 4b =6ab =6\cdot16=96 \] Ответ: 96.

  4. Определите, какое из чисел \(p = 1{,}25\;\sqrt[7]{0{,}8}\) и \(q = 0{,}8\;\sqrt[7]{1{,}25}\) ближе к единице.
    Решение: Преобразуем числа: \[ p = \frac{5}{4} \cdot (0{,8})^{1/7} = \left(\frac{5}{4}\right)^{6/7}, \quad q = \frac{4}{5} \cdot (1{,25})^{1/7} = \left(\frac{4}{5}\right)^{6/7} \] Сравним модули разностей: \[ |p -1| = \left|\left(\frac{5}{4}\right)^{6/7} -1\right|, \quad |q -1| = \left|\left(\frac{4}{5}\right)^{6/7} -1\right| \] Поскольку \(\frac{5}{4} >1\), а \(\frac{4}{5} <1\), и функция \(x^{6/7}\) монотонна: \[ \left(\frac{5}{4}\right)^{6/7} -1 < 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^{6/7} \] Ответ: \(p\) ближе к 1.

  5. Найдите все значения параметра \(b\), при которых разность между наибольшим и наименьшим значениями функции \(y = x(|x| -2)\) на отрезке \([b-2, b]\) минимальна.
    Решение: Функция \(y = \begin{cases} x(x-2), & x \geq0 \\ -x(x+2), & x <0 \end{cases}\). Критические точки при \(x=0\), максимум при \(x=-1\), минимум при \(x=1\). Анализ отрезка \([b-2, b]\):
    • Если отрезок содержит точки \(-1\) и \(1\), разность \(y(-1) - y(1) =1 - (-1)=2\)
    • Если отрезок лежит целиком правее 1: разность зависит от линейной части
    • Если отрезок лежит левее \(-1\): аналогично
    Минимальная разность достигается при включении критических точек. Оптимальное \(b\): отрезок \([-1,1]\), тогда \(b -2 =-1 \implies b=1\). Ответ: \(b=1\).
Материалы школы Юайти