СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2014 Вариант 1

СУНЦ МГУ школа Колмогорова

Март 2014 год

ФизМат вариант 1

1. Найдите площадь фигуры, расположенной на координатной плоскости и состоящей из точек с координатами \((x,y)\), удовлетворяющих неравенству \[ |x| + 2 - |y| \le 1. \]
2. На конкурсе новогодних рисунков детям выдали некоторое количество чистых листов бумаги. На одних листах дети нарисовали только Деда Мороза, на других — только Снегурочку, на третьих — Деда Мороза и Снегурочку вместе, а 20 листов остались чистыми. Среди всех рисунков изображение Деда Мороза можно увидеть на 85% рисунков, а на 60% рисунков они были нарисованы вместе. Доля тех листов, на которых имеется изображение Снегурочки, от общего числа выданных листов бумаги составила \(\tfrac{25}{34}\). Сколько всего листов было выдано детям?
3. В выпуклом четырёхугольнике \(ABCD\) диагонали пересекаются в точке \(M\), причём \(CM = DM\). Найдите угол между прямой \(CD\) и биссектрисой угла \(\angle BAC\), если известен угол \(\angle ABM = 78^\circ\).
4. Пусть \(S_m\) — сумма первых \(m\) членов арифметической прогрессии. Найти \(n\) — число членов этой прогрессии и её первый член, если известно, что \[ S_n = 90, \quad \frac{S_1}{1} + \frac{S_2}{2} + \dots + \frac{S_n}{n} = 60 \] и разность прогрессии равна 4.
5. Пусть \(x_1, x_2\) — корни квадратного уравнения \(x^2 - x - 3 = 0\). Известно, что \[ x_1^5 + 19x_2 \] является целым числом. Найдите это число.

Решения задач

1. Найдите площадь фигуры, расположенной на координатной плоскости и состоящей из точек с координатами \((x,y)\), удовлетворяющих неравенству \[ |x| + 2 - |y| \le 1. \]
   Решение: Преобразуем неравенство \(|x| + 2 - |y| \le 1\) к виду \(|y| \ge |x| + 1\). Эта區域 описывает два бесконечных конуса над и под линиями \(y = |x| + 1\) и \(y = -|x| - 1\). Однако данная фигура имеет бесконечную площадь, что противоречит условию задачи. Вероятно, в условии допущена опечатка. Предположив, что правильно: \(|x| + |y| + 2 \le 1\) — не имеет решений. Возможен альтернативный вариант условия, но в рамках данной задачи предположим конечный ответ, связанный с несением original вопроса: Ответ: Фигура имеет бесконечную площадь; противоречие в условии.
   Ответ: Не указан ввиду противоречия условия.
2. На конкурсе новогодних рисунков детям выдали некоторое количество чистых листов бумаги. На одних листах дети нарисовали только Деда Мороза, на других — только Снегурочку, на третьих — Деда Мороза и Снегурочку вместе, а 20 листов остались чистыми. Среди всех рисунков изображение Деда Мороза можно увидеть на 85% рисунков, а на 60% рисунков они были нарисованы вместе. Доля тех листов, на которых имеется изображение Снегурочки, от общего числа выданных листов бумаги составила \(\tfrac{25}{34}\). Сколько всего листов было выдано детям?
   Решение:
   Обозначим общее количество листов \(N\).
   Листов с Дедом Морозом (A) + Снегурочкой (B) + обоими (C): \[ A + B + C = N - 20. \] Из условий:
   • Дед Мороз нарисован на 85% рисунков: \(A + C = 0{,}85(N - 20)\).
   • В 60% рисунков изображены оба: \(C = 0{,}6(N - 20)\).
   • Доля листов с Снегурочкой: \(\frac{B + C}{N} = \frac{25}{34} \Rightarrow B + C = \frac{25}{34}N\).
   Найдём A с помощью выражения для Дреда Мороза: \(A = 0{,}25(N - 20)\).
   Подставив \(B = N - 20 - A - C\) в уравнение для снегурочки и решив систему уравнений, получим \(N = 1020\).
   Ответ: 1020.
3. В выпуклом четырёхугольнике \(ABCD\) диагонали пересекаются в точке \(M\), причём \(CM = DM\). Найдите угол между прямой \(CD\) и биссектрисой угла \(\angle BAC\), если известен угол \(\angle ABM = 78^\circ\).
   Решение:
   Так как \(CM = DM\), то треугольник \(CMD\) — равнобедренный, откуда \(\angle MDC = \angle MCD\). Обозначим биссектрису угла \(\angle BAC\) как \(AK\). Величина угла \(\angle ABM = 78^\circ\) позволяет найти искомый угол через свойства симметрии и суммยอด углов, приводя к Ответ: \(12^\circ\).
   Ответ: \(12^\circ\).
4. Пусть \(S_m\) — сумма первых \(m\) членов арифметической прогрессии. Найти \(n\) — число членов этой прогрессии и её первый член, если известно, что \[ S_n = 90, \quad \frac{S_1}{1} + \frac{S_2}{2} + \dots + \frac{S_n}{n} = 60 \] и разность прогрессии равна 4.
   Решение:
   Используя формулы для суммы арифметической прогрессии \(S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)\), составим систему уравнений. При \(d = 4\), решение даёт \(n = 6\) и первый член \(a_1 = 5\).
   Ответ: \(n = 6\), первый член \(5\).
5. Пусть \(x_1, x_2\) — корни квадратного уравнения \(x^2 - x - 3 = 0\). Известно, что \[ x_1^5 + 19x_2 \] является целым числом. Найдите это число.
   Решение:
   Используя соотношение \(x^2 = x + 3\), последовательно находим \(x_1^5 = 19x_1 + 21\). Сумма \(x_1 + x_2 = 1\) позволяет упростить выражение: \[ x_1^5 + 19x_2 = 19x_1 + 21 + 19x_2 = 19(x_1 + x_2) + 21 = 19 \cdot 1 + 21 = 40. \] Ответ: 40.