СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2014 Вариант 1

СУНЦ МГУ школа Колмогорова

Май 2014 год

ФизМат вариант 1

1. Миша, Петя, Коля и Вася решали задачу по алгебре и получили четыре разных ответа: Миша~\(\displaystyle \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}}\); Петя~\(\displaystyle \frac{17 - 12\sqrt{2}}{3 - 2\sqrt{2}}\); Коля~\(\displaystyle \sqrt{17 - 6\sqrt{8}}\); Вася~\(1 - 3\sqrt{3} - 2\sqrt{2}\). Учитель сказал, что три ответа правильные, а один — нет. Определите, кто совершил ошибку, и обоснуйте ваши рассуждения.
2. Посчитать количество всех положительных несократимых дробей со знаменателем 165 и числителем, не превосходящим 330.
3. В остроугольном треугольнике \(ABC\) высота \(AH\) равна медиане \(BM\), а две оставшиеся высоты не превосходят \(BM\). Какое наибольшее значение может принимать угол \(ABC\) при этих условиях?
4. Параболы \[ y = x^2 + p_1 x + q_1 \quad\text{и}\quad y = x^2 + p_2 x + q_2 \] пересекают ось \(OX\) в точках, в которых сумма и произведение абсцисс равны нулю. Одна из парабол пересекает ось \(OX\) в точке \(x = 1\), а другая пересекает ось \(OY\) в точке \(y = \tfrac{1}{10}\). Напишите уравнения этих парабол.
5. Сумма четырёх неотрицательных чисел \(a, b, c, d\) равна 28. Чему равно наибольшее значение \[ S = ab + cd \] при этом условии?

Решения задач

1. Миша, Петя, Коля и Вася решали задачу по алгебре и получили четыре разных ответа. Определите, кто совершил ошибку. Решение:
   • Ответ Миши: \[ \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}} = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{(3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2})} = 3 - 2\sqrt{2} \quad (\approx 0,172 > 0) \]
   • Ответ Пети: \[ \frac{17 - 12\sqrt{2}}{3 - 2\sqrt{2}} = (17 - 12\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2}) = 3 - 2\sqrt{2} \]
   • Ответ Коли: \[ \sqrt{17 - 6\sqrt{8}} = \sqrt{17 - 12\sqrt{2}} = \sqrt{(3 - 2\sqrt{2})^2} = 3 - 2\sqrt{2} \]
   • Ответ Васи: \[ 1 - 3\sqrt{3} - 2\sqrt{2} \approx 1 - 5,196 - 2,828 \approx -7,024 < 0 \]
   Ответы Миши, Пети и Коли положительны и равны \(3 - 2\sqrt{2}\). Васин ответ отрицательный, что противоречит исходным условиям.
   Ответ: ошибку совершил Вася.
   
   
2. Посчитать количество всех положительных несократимых дробей со знаменателем 165 и числителем, не превосходящим 330.
   Решение: \[ 165 = 3 \cdot 5 \cdot 11 \] Количество несократимых дробей равно \(\varphi(165) = 165 \cdot \left(1 - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 - \frac{1}{5}\right) \cdot \left(1 - \frac{1}{11}\right) = 80\). Числители повторяются каждые 165 чисел. При 330 числителях: \[ 80 \cdot 2 = 160 \] Ответ: 160.
   
   
3. В остроугольном треугольнике \(ABC\) высота \(AH\) равна медиане \(BM\). Найти наибольшее значение угла \(ABC\).
   Решение: Пусть \(BM = AH = h\). Из условия остроугольности и свойств медианы: \[ BM = \frac{1}{2}\sqrt{2AB^2 + 2BC^2 - AC^2} \] Приравнивая к высоте: \[ AH = \frac{2S}{AC} = h \] Максимальный угол \(B\) достигается при минимизации \(AC\). Допустим, \(AC = 2h\), тогда: \[ \sqrt{2AB^2 + 2BC^2 - (2h)^2} = 2h \implies AB = BC \] Угол \(B\) достигает \(120^\circ\), но условие остроугольности ограничивает его значением меньше \(90^\circ+\).
   Ответ: \(120^\circ\) противоречит остроугольности. Наибольшее возможное значение: \(90^\circ\).
   
   
4. Параболы \[ y = x^2 + p_1 x + q_1 \quad \text{и} \quad y = x^2 + p_2 x + q_2 \] пересекают ось \(OX\) в точках, где сумма и произведение абсцисс равны нулю. Уравнения парабол.
   Решение: Корни уравнений \(x^2 + p x + q = 0\) удовлетворяют: \[ x_1 + x_2 = -p = 0 \implies p = 0; \quad x_1x_2 = q = 0 \] Но по условию сумма корней равна нулю и произведение тоже. Значит, оба корня \(x=0\) противоречие. Дано, что одна парабола пересекает ось в \(x=1\), а другая в \(y=\frac{1}{10}\) на оси \(OY\). Уравнения: \[ y = x^2 - x \quad (p=-1, q=0) \quad \text{и} \quad y = x^2 + 0x + \frac{1}{10} \]
   Ответ: \(y = x^2 - x\) и \(y = x^2 + \frac{1}{10}\).
   
   
5. Наибольшее значение \(S = ab + cd\) при \(a + b + c + d = 28\).
   Решение: Используем неравенство Коши для пары переменных: \[ ab \leq \frac{(a + b)^2}{4}, \quad cd \leq \frac{(c + d)^2}{4} \] Максимальное значение достигается при \(a = b = \frac{x}{2}\), \(c = d = \frac{28 - x}{2}\): \[ S = \frac{x^2}{4} + \frac{(28 - x)^2}{4} \] \(x = 14\) даёт \(S = \frac{14^2}{4} + \frac{14^2}{4} = 98\). Проверка: При \(a = 14\), \(b=14\), \(c=0\), \(d=0\): \(S = 14 \cdot 14 + 0 = 196\). Однако противоречие с условием неотрицательности. Правильный подход: распределить \(a+b\) и \(c+d\) поровну. Максимум при \(a=b=14\), тогда \(S =14 \cdot14 +0=196\).
   Ответ: 196.