СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2014 Вариант 1

СУНЦ МГУ школа Колмогорова

Июнь 2014 год

ФизМат вариант 1

1. Решите систему уравнений \[ \begin{cases} (5x - 1)(3y + 2) = (2x + 1)(9y - 2),\\[6pt] (3x + 2)(2y - 9) = -(x + 2)(y + 9). \end{cases} \]
2. Найдите количество чисел от 10 до 50 (включительно), имеющих ровно два нечётных положительных делителя (и произвольное количество чётных делителей). Например, число 12 делится на 1, 2, 3, 4, 6 и 12, причём ровно два из делителей: 1 и 3 — нечётные.
3. В треугольнике \(ABC\) на стороне \(AB\) выбраны точки \(K\) и \(L\) так, что \(AK = KL = LB\), а на стороне \(BC\) — точки \(M\) и \(N\) так, что \(BM:MN:NC = 1:2:1\). Найдите площадь треугольника \(ABC\), если известно, что площадь четырёхугольника \(KLMN\) равна 20.
4. Даны два числа \[ a = 2{,}5\sqrt[9]{0{,}4} \quad\text{и}\quad b = 0{,}4\sqrt[9]{2{,}5}. \] Определите, какое из этих чисел расположено ближе к единице на числовой оси. Ответ обоснуйте.
5. Найдите все значения параметра \(a\), при которых разность между наибольшим и наименьшим значениями функции \[ y = x\bigl(|x| - 2\bigr) \] на отрезке \([a,\,a+2]\) достигает наименьшего значения.

Решения задач

1. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} (5x - 1)(3y + 2) = (2x + 1)(9y - 2),\\[6pt] (3x + 2)(2y - 9) = -(x + 2)(y + 9). \end{cases} \]
   Решение: Преобразуем уравнения системы. После раскрытия скобок и упрощения первого уравнения получаем: \[ -3xy + 14x - 12y = 0 \] Из второго уравнения аналогично: \[ 7xy - 18x + 6y = 0 \] Решая полученную систему, находим выражение для \(x\) через \(y\) и подставляем во второе уравнение: \[ x = \frac{12y}{14 - 3y} \] Подстановка в уравнение приводит к квадратному уравнению с решением \(y = \frac{64}{23}\), из которого находим \(x = \frac{384}{65}\).
   Ответ: \(\left( \frac{384}{65}, \frac{64}{23} \right)\).
2. Найдите количество чисел от 10 до 50 (включительно), имеющих ровно два нечётных положительных делителя.
   Решение: Числа должны иметь вид \(2^k \cdot p\), где \(p\) — нечётное простое. Перебор чисел даёт 14 подходящих чисел: 10, 12, 14, 20, 22, 24, 26, 28, 34, 38, 40, 44, 46, 48.
   Ответ: 14.
3. Найдите площадь треугольника \(ABC\), если площадь четырёхугольника \(KLMN\) равна 20.
   Решение: Используя координатный метод, находим площади четырёхугольника и треугольника. В результате вычислений площадь треугольника \(ABC\) равна 48.
   Ответ: 48.
4. Определите, какое из чисел \(a = 2{,}5\sqrt[9]{0{,}4}\) и \(b = 0{,}4\sqrt[9]{2{,}5}\) ближе к единице.
   Решение: Используя свойство взаимной обратности чисел \(a\) и \(b\), находим расстояние до единицы. Показано, что \(|1 - b| < |a - 1|\), поэтому число \(b\) ближе к единице.
   Ответ: \(b\) ближе к единице.
5. Найдите все значения параметра \(a\), при которых разность между наибольшим и наименьшим значениями функции \(y = x(|x| - 2)\) на отрезке \([a,\,a+2]\) достигает наименьшего значения.
   Решение: Анализ функции и её производной показывает, что наименьшая разность значений достигается при \(a = -1\).
   Ответ: \(-1\).