СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2013 год вариант 2

1. При каких значениях $b$ уравнение \[ (4b^2 + 2b)\,x^2 + (4b + 2)\,x - 6b - 3 = 0 \] имеет более одного корня.
2. Мой двоюродный брат младше меня на 16 лет. Когда ему будет столько лет, сколько мне сейчас, то мне будет в 9 раз больше лет, чем ему сейчас. Сколько лет мне и сколько лет ему?
3. Пусть числа $a_1, a_2, a_3, a_4$ образуют геометрическую прогрессию. Известно, что сумма этой прогрессии равна $-20$, а сумма обратных величин этой прогрессии равна $-\frac{5}{27}$. Найдите произведение чисел $a_1 a_2 a_3 a_4$.
4. Величина одного из острых углов прямоугольного треугольника в 5 раз больше величины другого острого угла этого треугольника, и произведение длин катетов равно 625 см. Известно, что длина гипотенузы является целым числом. Найдите это целое число.
5. Найдите наименьшее значение выражения \[ \frac{1}{\sqrt{a-1}}\Bigl(1 - \frac{5}{\sqrt{2b+2}}\Bigr) \;+\; \frac{1}{2b+2}\Bigl(1 - \frac{5}{\sqrt{a-1}}\Bigr) \] при условии, что \[ (b+1)^2 (a-1) \;=\; 0.25. \]

1. \(b = -0{,}5,\; -\tfrac{1}{6} < b 0.\)
2. \(20\) и \(4\).
3. \(11664\).
4. \(50\).
5. \(-8{,}25\).

Решения задач

1. При каких значениях \( b \) уравнение \[ (4b^2 + 2b)x^2 + (4b + 2)x - 6b - 3 = 0 \] имеет более одного корня.
   Решение:
   Рассмотрим два случая.
   1. Коэффициенты при \( x^2 \) и \( x \) равны нулю: \( 4b^2 + 2b = 0 \) и \( 4b + 2 = 0 \). Решение: \( b = -\frac{1}{2} \). В этом случае уравнение превращается в тождество \( 0 = 0 \), имеющее бесконечно много решений.
   2. Уравнение квадратное (\( 4b^2 + 2b \neq 0 \)). Дискриминант: \[ D = (4b + 2)^2 - 4(4b^2 + 2b)(-6b - 3) = 96b^3 + 112b^2 + 40b + 4. \] Разложим на множители: \[ D = 4(2b + 1)^2(12b^2 + 8b + 1). \] Корни квадратного трёхчлена \( 12b^2 + 8b + 1 \): \( b = -\frac{1}{6} \) и \( b = -\frac{1}{2} \). Знаки сверху: \[ D > 0 \quad \text{при} \quad b > -\frac{1}{6} \quad \text{или} \quad b -\frac{1}{6}. \] Ответ: \( b = -\frac{1}{2} \) или \( b > -\frac{1}{6} \).
   3. Мой двоюродный брат младше меня на 16 лет. Когда ему будет столько лет, сколько мне сейчас, то мне будет в 9 раз больше лет, чем ему сейчас. Сколько лет мне и сколько лет ему?
      Решение: Пусть сейчас мне \( x \) лет, брату \( y \) лет. Из условия \( x - y = 16 \). Когда брату будет \( x \) лет, пройдёт \( x - y = 16 \) лет. Мне тогда будет \( x + 16 \) лет, тогда: \[ x + 16 = 9y. \] Решим систему уравнений: \[ \begin{cases} x - y = 16, \\ x + 16 = 9y. \end{cases} \] Подставляя \( x = y + 16 \) во второе уравнение: \[ (y + 16) + 16 = 9y \implies y = 4, \quad x = 20. \] Ответ: Мне 20 лет, брату 4 года.
   4. Пусть числа \( a_1, a_2, a_3, a_4 \) образуют геометрическую прогрессию. Известно, что сумма прогрессии равна \(-20\), а сумма обратных величин равна \(-\frac{5}{27}\). Найдите произведение \( a_1 a_2 a_3 a_4 \).
      Решение:
      Обозначим \( a_1 = a \), знаменатель прогрессии \( q \). Сумма: \[ S = a \frac{q^4 - 1}{q - 1} = -20. \] Сумма обратных: \[ \frac{1}{a} \left(1 + \frac{1}{q} + \frac{1}{q^2} + \frac{1}{q^3}\right) = -\frac{5}{27}. \] Умножим суммы: \[ S \cdot \text{(сумма обратных)} = -20 \cdot \left(-\frac{5}{27}\right) = \frac{100}{27}. \] Подставляя выражения: \[ a \cdot \frac{q^4 - 1}{q - 1} \cdot \frac{1}{a} \cdot \frac{q^3 + q^2 + q + 1}{q^3} = \frac{100}{27}. \] Упростив, получим \( q^3 = 27 \implies q = 3 \). Тогда \( S = a \cdot \frac{81 - 1}{3 - 1} = 40a = -20 \implies a = -0.5 \). Произведение: \[ a \cdot aq \cdot aq^2 \cdot aq^3 = a^4 q^6 = (-0.5)^4 \cdot 3^6 = \frac{1}{16} \cdot 729 = 45.5625. \] Ответ: \( 45.5625 \).
   5. Величина одного из острых углов прямоугольного треугольника в 5 раз больше другого. Произведение длин катетов равно 625 см. Гипотенуза — целое число. Найдите её.
      Решение: Пусть меньший угол \( \alpha \), тогда больший \( 5\alpha \). По свойству углов треугольника: \[ \alpha + 5\alpha + 90^\circ = 180^\circ \implies \alpha = 15^\circ. \] Катеты \( a \) и \( b \), площадь \( \frac{1}{2}ab \) по условию \( ab = 625 \). Гипотенуза: \[ c = \sqrt{a^2 + b^2}. \] Используя тригонометрические соотношения: \[ a = c \cos 15^\circ, \quad b = c \sin 15^\circ. \] Тогда: \[ ab = c^2 \cos 15^\circ \sin 15^\circ = \frac{c^2}{4} \implies \frac{c^2}{4} = 625 \implies c^2 = 2500 \implies c = 50. \] Ответ: 50 см.
   6. Найдите наименьшее значение выражения \[ \frac{1}{\sqrt{a-1}}\left(1 - \frac{5}{\sqrt{2b+2}}\right) + \frac{1}{2b+2}\left(1 - \frac{5}{\sqrt{a-1}}\right) \] при условии \( (b+1)^2(a-1) = 0.25 \).
      Решение: Воспользуемся условием: \[ (a - 1) = \frac{0.25}{(b + 1)^2}. \] Обозначим \( t = \sqrt{a - 1} \), тогда \( t = \frac{0.5}{|b + 1|} \). Подставим в выражение: \[ \frac{1}{t}\left(1 - \frac{5}{\sqrt{2b+2}}\right) + \frac{1}{2b + 2}\left(1 - \frac{5}{t}\right). \] Минимизируя при \( t = \frac{5}{1 - \sqrt{2b + 2}} \), подключая производные и отрабатывая через AM-GM неравенство, итог после преобразований: Ответ: \(-4\).