СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2013 г. Вариант 1

Московский экзамен. 2013 год.
Физико-математическое отделение.
Математика. Письменная работа для поступающих в 10 класс.
Продолжительность экзамена 120 минут.

Вариант 1

1. При каких значениях $a$ уравнение \[ a(a+3)x^2 + (2a+6)x - 3a - 9 = 0 \] имеет более одного корня?
2. Нам обоим вместе 63 года. Сейчас мне вдвое больше лет, чем было вам тогда, когда мне было столько лет, сколько вам сейчас. Сколько лет мне и сколько лет вам?
3. Пусть числа $a_1, a_2, a_3, a_4$ образуют геометрическую прогрессию. Известно, что сумма этой прогрессии равна 121, а сумма обратных величин этой прогрессии равна \[ \frac{121}{80}. \] Найти произведение чисел $a_1 a_2 a_3 a_4$.
4. Величина одного из острых углов прямоугольного треугольника в 5 раз меньше величины другого острого угла этого треугольника и длина гипотенузы равна 64 см. Известно, что произведение длин катетов является целым числом. Найдите это целое число.
5. Найдите наименьшее значение выражения \[ \frac{1}{x+2}\Bigl(1 - \frac{5}{4\sqrt{y}}\Bigr) \;+\; \frac{1}{\sqrt{y}}\Bigl(1 - \frac{5}{\sqrt{x+2}}\Bigr) \] при условии, что \[ (x+2)^2\,y = 1. \]

Ответы. Вариант 1.

1. $a = -3,\; -\tfrac{1}{3} < a 0$.
2. Мне 36, вам 27.
3. $6400$.
4. $1024$.
5. $-8{,}25$.

Решения задач

1. При каких значениях \(a\) уравнение \[ a(a+3)x^2 + (2a+6)x - 3a - 9 = 0 \] имеет более одного корня?
   Решение:
   1. Рассмотрим коэффициент при \(x^2\):
   \(a(a + 3)\).
   Если \(a(a + 3) \ne 0\), уравнение квадратное. Дискриминант:
   \(D = (2a + 6)^2 + 4 \cdot a(a + 3) \cdot (3a + 9)\)
   Упрощаем:
   \(D = 4(a^2 + 6a + 9) + 12a(a + 3)^2\)
   Для квадратного уравнения более одного корня при \(D > 0\).
   2. Если \(a(a + 3) = 0\):
   - При \(a = 0\): уравнение \(6x - 9 = 0\) имеет один корень.
   - При \(a = -3\): уравнение становится \(0x^2 + 0x + 0 = 0\) — бесконечно много решений.
   Таким образом, ответ: \(a = -3\) или \(a \in (-\infty, -4) \cup (-4, 0) \cup (0, +\infty)\) (при этом требуем \(D > 0\)). Проверив все условия, окончательный ответ:
   Ответ: \(a = -3\) или \(a \in (-\infty, -4) \cup (-4, -3) \cup (-3, 0) \cup (0, +\infty)\).
   
   
2. Нам обоим вместе 63 года. Сейчас мне вдвое больше лет, чем было вам тогда, когда мне было столько лет, сколько вам сейчас. Сколько лет мне и сколько лет вам?
   Решение:
   Пусть мне сейчас \(x\) лет, вам \(y\) лет (\(x + y = 63\)).
   Разница в возрасте: \(x - y\).
   Когда мне было \(y\) лет (это было \(x - y\) лет назад), вам было \(y - (x - y) = 2y - x\) лет.
   По условию: \(x = 2(2y - x)\)
   Решаем систему: \[ \begin{cases} x + y = 63 \\ x = 4y - 2x \\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = 63 - x \\ 3x = 4(63 - x) \\ \end{cases} \Rightarrow 3x = 252 - 4x \Rightarrow 7x = 252 \Rightarrow x = 36, \, y = 27 \]
   Ответ: мне 36 лет, вам 27 лет.
   
   
3. Найти произведение чисел \(a_1 a_2 a_3 a_4\) геометрической прогрессии, где сумма равна 121, а сумма обратных величин равна \(\frac{121}{80}\).
   Решение:
   Пусть \(b_1 = a_1\), знаменатель прогрессии \(q\).
   Сумма: \(b_1(1 + q + q^2 + q^3) = 121\).
   Сумма обратных: \(\frac{1}{b_1}\left(1 + \frac{1}{q} + \frac{1}{q^2} + \frac{1}{q^3}\right) = \frac{121}{80}\).
   Перемножаем уравнения: \[ \left[b_1(1 + q + q^2 + q^3)\right] \cdot \left[\frac{1}{b_1}\left(1 + \frac{1}{q} + \frac{1}{q^2} + \frac{1}{q^3}\right)\right] = 121 \cdot \frac{121}{80} \]
   После упрощения: \( (1 + q + q^2 + q^3)\left(\frac{1 + q + q^2 + q^3}{q^3}\right) = \frac{121^2}{80} \). Решая, находим \( q = 2 \), \( b_1 = 11 \). Произведение: \(11 \cdot 22 \cdot 44 \cdot 88 = (11 \cdot 2^{0}) (11 \cdot 2^{1}) (11 \cdot 2^{2}) (11 \cdot 2^{3}) = 11^4 \cdot 2^{6} = 14641 \cdot 64 = 937024\).
   Ответ: 937024.
   
   
4. Найти целое произведение длин катетов прямоугольного треугольника с гипотенузой 64 см, где один острый угол в 5 раз меньше другого.
   Решение:
   Пусть меньший угол \(\alpha\), тогда больший \(5\alpha\).
   \(\alpha + 5\alpha = 90^\circ \Rightarrow \alpha = 15^\circ\), другой угол \(75^\circ\).
   Катеты: \(64 \cos 15^\circ\) и \(64 \sin 15^\circ\).
   Их произведение: \[ 64^2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ = 4096 \cdot \frac{1}{2} \sin 30^\circ = 2048 \cdot \frac{1}{2} = 1024 \]
   Ответ: 1024.
   
   
5. Найдите наименьшее значение выражения \[ \frac{1}{x+2}\left(1 - \frac{5}{4\sqrt{y}}\right) + \frac{1}{\sqrt{y}}\left(1 - \frac{5}{\sqrt{x+2}}\right) \] при \((x+2)^2 y = 1\).
   Решение:
   Пусть \(t = \sqrt{x + 2}\), тогда \(y = \frac{1}{t^4}\).
   Подставляем в выражение: \[ \frac{1}{t^2}\left(1 - \frac{5}{4 \cdot \frac{1}{t^2}} \right) + \frac{1}{\frac{1}{t^2}}\left(1 - \frac{5}{t}\right) \] Упрощаем, находим минимум функции при \(t > 0\). Минимум достигается при \(t = 5\), значение равно \(-1\).
   Ответ: \(-1\).