СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2011 год вариант 2

СУНЦ МГУ школа Колмогорова

2011 год

Регион ФизМат Вариант 2

1. (2 балла) Произведение двух отрицательных чисел, отличающихся на 5, равно 11. Чему равна сумма этих чисел?
2. (2 балла) Число 3 возведено в третью степень. Полученное число снова возведено в третью степень и т.д. Возведение повторено 2011 раз. Определите, какой цифрой заканчивается полученное число.
3. (3 балла) Дан равнобедренный треугольник \(ABC\). На его основании \(AB\) отмечена точка \(D\), после чего на продолжении основания за точку \(B\) отмечена точка \(E\), так что \(AD = BE\). При каком положении точки \(D\) высота \(EN\) треугольника \(ECD\) будет максимальна?
4. (3 балла) При каком значении \(b\) множество точек, координаты которых \((x,y)\) удовлетворяют равенству \[ |x - 2y| = y, \] совпадает с множеством точек, координаты которых удовлетворяют равенству \[ |b y - 2x| = x \;? \]

Решения задач

1. Произведение двух отрицательных чисел, отличающихся на 5, равно 11. Чему равна сумма этих чисел?
   Решение: Пусть числа имеют вид \(-a\) и \(-(a + 5)\), где \(a > 0\). Их произведение: \[ (-a) \cdot (-(a + 5)) = a(a + 5) = 11 \] Решая квадратное уравнение: \[ a^2 + 5a - 11 = 0 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{-5 + \sqrt{69}}{2} \] Сумма чисел: \[ -a - (a + 5) = -2a - 5 = -\sqrt{69} \] Ответ: \(-\sqrt{69}\).
   
   
2. Число 3 возведено в третью степень. Полученное число снова возведено в третью степень и т.д. Возведение повторено 2011 раз. Определите, какой цифрой заканчивается полученное число.
   Решение: Исследуем цикл последних цифр при возведении 3 в степень: \[ 3^3 = 27 \quad (\text{последняя цифра }7) \] \[ 7^3 = 343 \quad (\text{последняя цифра }3) \] Цикл: \(7 \rightarrow 3 \rightarrow 7 \ldots\). Чётное число операций оканчивается на \(3\), нечётное — на \(7\). Поскольку 2011 — нечётное, последняя цифра равна 7.
   Ответ: 7.
   
   
3. Дан равнобедренный треугольник \(ABC\). На его основании \(AB\) отмечена точка \(D\), после чего на продолжении основания за точку \(B\) отмечена точка \(E\), так что \(AD = BE\). При каком положении точки \(D\) высота \(EN\) треугольника \(ECD\) будет максимальна?
   Решение: Пусть \(AB = L\), \(C\) — вершина треугольника. Введём координаты: \(A(0, 0)\), \(B(L, 0)\), \(C\left(\frac{L}{2}, h\right)\). Точка \(D(x, 0)\), тогда \(BE = x\) и точка \(E(L + x, 0)\). Высота \(EN\) как расстояние от \(E\) до прямой \(CD\): \[ EN = \frac{hL}{\sqrt{h^2 + \left(\frac{L}{2} - x\right)^2}} \] Максимум достигается при \(x = \frac{L}{2}\), то есть при совпадении \(D\) с серединой \(AB\).
   Ответ: \(D\) — середина \(AB\).
   
   
4. При каком значении \(b\) множество точек, координаты которых \((x,y)\) удовлетворяют равенству \[ |x - 2y| = y, \] совпадает с множеством точек, координаты которых удовлетворяют равенству \[ |b y - 2x| = x \;? \]
   Решение: Первое уравнение разлагается на лучи: \[ x = 3y \, (y \geq 0) \quad \text{и} \quad x = y \, (y \geq 0). \] Аналогично для второго уравнения: \[ bx - 2x = x \, \Rightarrow \, y = \frac{3x}{b} \quad \text{и} \quad bx - 2x = -x \, \Rightarrow \, y = \frac{x}{b}. \] Совпадение множеств требует: \[ \frac{3x}{b} = x \, \Rightarrow \, b = 3 \quad \text{и} \quad \frac{x}{b} = x \, \Rightarrow \, b = 1. \] Для одновременного выполнения обоих условий необходимо \(b = 3\): проверим подстановкой, при \(b = 3\) второе уравнение преобразуется в исходное множество.
   Ответ: \(b = 3\).