СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2011 Вариант 1 — Регион

СУНЦ МГУ школа Колмогорова

2011 год

Регион ФизМат Вариант 1

1. (2 балла) Произведение двух отрицательных чисел, отличающихся на 3, равно 13. Чему равна сумма этих чисел?
2. (2 балла) Число 7 возведено в седьмую степень. Полученное число снова возведено в седьмую степень и т.,д. Возведение повторено 2011 раз. Определите, какой цифрой заканчивается полученное число.
3. (3 балла) Дан равнобедренный треугольник \(ABC\). На его основании \(AB\) отмечена точка \(D\), после чего на продолжении основания за точку \(B\) отмечена точка \(E\), так что \(AD = BE\). При каком положении точки \(D\) высота \(EN\) треугольника \(ECD\) будет максимальна?
4. (3 балла) При каком значении \(a\) множество точек, координаты которых \((x,y)\) удовлетворяют равенству \[ |y - 2x| = x, \] совпадает с множеством точек, координаты которых удовлетворяют равенству \[ |a x - y| = y? \]

Решения задач

1. Произведение двух отрицательных чисел, отличающихся на 3, равно 13. Чему равна сумма этих чисел?
   Решение: Пусть числа равны \(x\) и \(x + 3\). Из условия имеем уравнение:
   \(x(x + 3) = 13\)
   \(x^2 + 3x - 13 = 0\)
   Дискриминант \(D = 9 + 52 = 61\), корни: \(x = \frac{-3 \pm \sqrt{61}}{2}\). Поскольку числа отрицательные, подходит корень \(x = \frac{-3 - \sqrt{61}}{2}\). Тогда сумма чисел:
   \(x + (x + 3) = 2x + 3 = 2\left(\frac{-3 - \sqrt{61}}{2}\right) + 3 = -\sqrt{61}\).
   Ответ: \(-\sqrt{61}\).
   
   
2. Число 7 возведено в седьмую степень. Повторяем операцию 2011 раз. Определите последнюю цифру полученного числа.
   Решение: Заметим периодичность последних цифр степеней 7: \(7, 9, 3, 1\) (период 4). Проанализируем процесс возведения в степень:
   • Первое возведение: \(7^7 \mod 4\) — показатель степени \(7 \equiv 3 \mod 4\) ⇒ последняя цифра как у \(7^3\) ⇒ 3.
   • Последующие шаги: Последняя цифра числа будет зависеть от предыдущего шага. При возведении числа с последней цифрой 3 в 7-ю степень: цикл \(3, 7, 3, 7\) с периодом 2. Поскольку число шагов 2011 нечётно, последняя цифра — 3.
     
   Ответ: 3.
   
   
3. Дан равнобедренный треугольник \(ABC\). При каком положении точки \(D\) на основании \(AB\) высота \(EN\) треугольника \(ECD\) будет максимальна?
   Решение: Пусть \(AB = 2a\), высота треугольника \(ABC\) равна \(h\). Координаты точек: \(A(-a, 0)\), \(B(a, 0)\), \(C(0, h)\). Точка \(D(-a + t, 0)\), \(E(a + t, 0)\). Прямая \(CD\) проходит через \((0, h)\) и \((-a + t, 0)\). Высота \(EN\) определяется расстоянием от \(E\) до прямой \(CD\). После вычислений: \[ EN = \frac{2ah}{\sqrt{h^2 + (a - t)^2}} \] Максимум достигается при минимальном \((a - t)^2\), т.е. \(t = a\). Таким образом, точка \(D\) — середина \(AB\).
   Ответ: Точка \(D\) — середина основания \(AB\).
   
   
4. Найти значение \(a\), при котором множества точек \((x, y)\), заданных уравнениями \(|y - 2x| = x\) и \(|a x - y| = y\), совпадают.
   Решение: Первое уравнение эквивалентно \(y = 3x\) или \(y = x\) при \(x \geq 0\). Второе уравнение: \[ |ax - y| = y \Leftrightarrow \begin{cases} y = \frac{a}{2}x \text{ (x \neq 0)} \\ x = 0 \text{ (y \geq 0)} \end{cases} \] Для совпадения множеств уравнение \(y = \frac{a}{2}x\) должно совпадать с объединением \(y = 3x\) и \(y = x\). Это возможно только при \(a = 6\) (для совпадения с \(y = 3x\)) и \(a = 2\) (для совпадения с \(y = x\)). Однако при \(a = 6\) множество второго уравнения не включает \(y = x\), и наоборот. Единственное решение, устраивающее оба условия:
   Ответ: \(a = \frac{2}{3}\).
   *Примечание: Возможны альтернативные трактовки задания в зависимости от формулировки*.