СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2011 Вариант 1 — МСК

СУНЦ МГУ школа Колмогорова

2011 год

МСК ФизМат Вариант 1

1. Сравнить два числа \[ \sqrt{27 + \sqrt{6} - 1} \quad\text{и}\quad \sqrt{48}. \]
2. Найти сумму всех несократимых дробей со знаменателем 3, заключённых между целыми положительными 25 и 75.
3. Множество \(\Phi\) состоит из точек, координаты которых \((x,y)\) в прямоугольной системе координат удовлетворяют соотношению \[ y = \bigl|\,y - 2x^2\bigr|. \] При каких значениях \(a\) прямая \[ y - 3x = a \] будет иметь ровно три общие точки с множеством \(\Phi\)?
4. Доля отличников в классе больше \(\tfrac{2}{5}\), но меньше \(\tfrac{3}{7}\), а всего в классе не больше 15 учеников. Сколько всего в классе учеников?
5. Прямая, проходящая через вершину параллелограмма, делит его площадь в отношении \(8:3\). В каком отношении эта прямая делит диагональ параллелограмма?

Решения задач

1. Сравнить два числа \[ \sqrt{27 + \sqrt{6} - 1} \quad\text{и}\quad \sqrt{48}. \]
   Решение: Упростим выражение под первым корнем: \[ \sqrt{27 + \sqrt{6} - 1} = \sqrt{26 + \sqrt{6}} \] Возведём оба числа в квадрат для сравнения: \[ (\sqrt{26 + \sqrt{6}})^2 = 26 + \sqrt{6} \approx 26 + 2,45 = 28,45 \] \[ (\sqrt{48})^2 = 48 \] Так как $28,45 < 48$, то $\sqrt{26 + \sqrt{6}} < \sqrt{48}$.
   Ответ: $\sqrt{27 + \sqrt{6} - 1} < \sqrt{48}$.
2. Найти сумму всех несократимых дробей со знаменателем 3, заключённых между целыми положительными 25 и 75.
   Решение: Дроби вида $\frac{n}{3}$, где $25 < \frac{n}{3} < 75$, эквивалентно $75 < n < 225$. Число $n$ должно быть целым, не кратным 3 (чтобы дробь была несократимой). Разобьём числа от 76 до 224 на две последовательности:
   $\frac{3k+1}{3}$ и $\frac{3k+2}{3}$, где $k$ целое.
   Количество чисел:
   От $76$ до $224$ чисел: $224 - 75 = 149$
   Числа вида $3k+1$: $k$ от $\lceil \frac{76-1}{3} \rceil = 25$ до $\lfloor \frac{224-1}{3} \rfloor = 74$ → $74 - 25 + 1 = 50$ чисел.
   Сумма числителей: $3(25)+1 + \ldots +3(74)+1 = 3 \cdot \frac{(25+74)50}{2} + 50 = 3 \cdot \frac{99 \cdot 50}{2} + 50 = 7575$
   Аналогично для вида $3k+2$: k от 25 до 73 → $73 -25 +1 = 49$ чисел → сумма $3 \cdot \frac{(25+73)49}{2} + 49 \cdot2 = 7497$
   Общая сумма дробей: $\frac{7575 + 7497}{3} = \frac{15072}{3} = 5024$
   Ответ: 5024.
3. Множество \(\Phi\) состоит из точек, координаты которых \((x,y)\) удовлетворяют условию \[ y = \bigl|\,y - 2x^2\bigr|. \] Решение: Рассмотрим два случая раскрытия модуля:
   1) $y \geq 2x^2$: Тогда $y = y - 2x^2$ → $2x^2 = 0$ → $x = 0$.
   2) $y < 2x^2$: Тогда $y = 2x^2 - y$ → $2y = 2x^2$ → $y = x^2$.
   Множество $\Phi$ состоит из прямой $x=0$ (ось Y) и параболы $y = x^2$. Прямая $y = 3x + a$ пересекает ось Y в точке $(0, a)$ и параболу $y = x^2$ в точках пересечения уравнений:
   $x^2 = 3x + a$ → $x^2 -3x -a = 0$
   Дискриминант: $9 + 4a$. Для трёх общих точек необходимо:
   1) Прямая пересекает параболу $y = x^2$ в двух точках ($9 + 4a > 0$ → $a > -9/4$).
   2) Точка $(0, a)$ должна лежать на оси Y, которая является частью множества $\Phi$. Таким образом, необходимо исключить случай совпадения точки $(0, a)$ с вершиной параболы $y = x^2$ (случай $a=0$).
   При $a=0$ ось Y совпадает с вершиной параболы и даёт одну точку пересечения. Поэтому при $-9/4 < a \neq 0$ прямая пересекает множество из трёх точек.
   Ответ: $a \in (-\frac{9}{4}, 0) \cup (0, +\infty)$.
4. Доля отличников в классе больше $\tfrac{2}{5}$, но меньше $\tfrac{3}{7}$, всего учеников не больше 15. Сколько всего учеников?
   Решение: Пусть $N$ – число учеников, $k$ – число отличников. Тогда: \[ \frac{2}{5}N < k < \frac{3}{7}N \] Числа $N$ и $k$ целые. Переберём возможные значения $N$ от 1 до 15:
   Для $N=11$: $\frac{2}{5} \cdot 11 =4.4$, $\frac{3}{7}\cdot 11 ≈4.714$ → $k=5$ не удовлетворяет (5 >4.714)
   Для $N=13$: $\frac{2}{5} \cdot 13=5.2$, $\frac{3}{7} \cdot13≈5.571$ → нет целых k в промежутке (5.2,5.571)
   Для $N=14$: $\frac{2}{5} \cdot 14=5.6$, $\frac{3}{7} \cdot14=6$ → $k=6$ (попадает в интервал)
   Ответ: 14.
5. Прямая, проходящая через вершину параллелограмма, делит его площадь в отношении $8:3$. В каком отношении эта прямая делит диагональ?
   Решение: Пусть диагональ делится прямой в отношении $k:1$. Если провести прямую через вершину параллелограмма, то получим треугольник и четырёхугольник. Отношение их площадей равно $8:3$. В параллелограмме площади частей, образованных прямой, пропорциональны длинам оснований. Обозначим часть диагонали от вершины как $kd$, тогда отношение высот треугольников $\frac{k}{1}$. Площади относятся как $\frac{k^2}{1} = \frac{8}{3}$ → $k = \sqrt{\frac{8}{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$. Но так как речь идёт о линейном отношении частей диагонали, правильное соотношение получается из условия подобия треугольников:
   Ответ: $8:3$.