СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2013 год вариант 4

1. Найдите сумму всех положительных четырёхзначных чисел, кратных четырём, делящихся на 11 и не превосходящих 2013.
2. По шоссе движется колонна из 14 велосипедистов со скоростью 20 км/ч, а по соседней полосе впереди нее мчится фотограф на мотоцикле со скоростью 15 км/ч. Как только фотограф видит рядом с собой велосипедиста, он мгновенно делает фотографию и увеличивает скорость на 2 км/ч. Сколько фотографий сделает фотограф?
3. Докажите, что число \[ 7^{26} - \bigl(8^{13} + 125\bigr)\cdot 7^{13} + 15^{3}\cdot 3^{9} \] составное.
4. В угол величиной \(60^\circ\) с вершиной \(A\) вписана окружность радиуса \(2\sqrt{3}\), касающаяся сторон угла в точках \(B\) и \(C\). На отрезке \(AB\) взята точка \(K\) так, что \(BK=11\). Через точку \(K\) проведена прямая, пересекающая окружность в точках \(P\) и \(T\), а луч \(AC\) — в точке \(M\), причём \(KP=TM\). Найдите площадь треугольника \(AKM\), если известно, что она больше 11.
5. Решите уравнение \[ \sqrt{3 - 2x} \;-\;\sqrt{1 + x} \;=\; 2 - 3x. \]

1. 34408
2. 5шт.
3. []
4. $\displaystyle \frac{35\sqrt{3}}{4}$
5. $x = \tfrac{2}{3}$

Решения задач

1. Найдите сумму всех положительных четырёхзначных чисел, кратных четырём, делящихся на 11 и не превосходящих 2013.
   Решение: Наименьшее четырёхзначное число, кратное 44: $1000 \div 44 \approx 22,72 \Rightarrow 23 \cdot 44 = 1012$. Наибольшее число $\leq 2013$: $44 \cdot 45 = 1980$ (т.к. $2013 \div 44 \approx 45,75$). Числа образуют арифметическую прогрессию: $a_1 = 1012$, $d = 44$, $a_n = 1980$. Количество членов: $n = 45 - 23 + 1 = 23$. Сумма: \[ S = \frac{23}{2} \cdot (1012 + 1980) = 23 \cdot 1496 = 34 \,408. \] Ответ: 34408.
2. По шоссе движется колонна из 14 велосипедистов со скоростью 20 км/ч. Фотограф, двигаясь со скоростью 15 км/ч, при встрече с каждым велосипедистом увеличивает скорость на 2 км/ч. Сколько фотографий сделает фотограф?
   Решение: Относительная скорость колонны к фотографу: $20 - 15 = 5$ км/ч. После каждого ускорения скорость фотографа увеличивается до $17$, $19$, $21$ км/ч. Количество фото определяется числам велосипедистов, которых можно догнать при каждом ускорении: при скорости $15$ км/ч — догоняют все $14$ велосипедистов, при $17$ км/ч — относительная скорость $3$ км/ч, при $19$ км/ч — $1$ км/ч, при $21$ км/ч ($>20$) фото невозможны. Время между встречами при ускорениях: суммарно фотограф сделает $3$ фото.
   Ответ: 3.
3. Докажите, что число $7^{26} - (8^{13} + 125) \cdot 7^{13} + 15^3 \cdot 3^9$ составное.
   Решение: Рассмотрим выражение по модулю 3: \[ 7^{26} \equiv 1^{26} \equiv 1, \quad 8^{13} + 125 \equiv 2^{13} + 2 \equiv 2 + 2 \equiv 1, \quad 15^3 \cdot 3^9 \equiv 0 \mod 3. \] Подставляя: \[ 1 - 1 \cdot 1 + 0 \equiv 0 \mod 3. \] Значит, число делится на 3 и больше 3, следовательно, составное.
   Ответ: Составное.
4. В угол $60^\circ$ с окружностью радиуса $2\sqrt{3}$ вписана. Точка $K$ на $AB$ так, что $BK = 11$. Прямая через $K$ пересекает окружность в $P$, $T$ и луч $AC$ в $M$, причём $KP = TM$. Найдите площадь $\triangle AKM$.
   Решение: Координаты ключевых точек:
   Центр окружности $O(4\sqrt{3}, 0)$. Точки касания $B(3\sqrt{3}, 3)$, $C(3\sqrt{3}, -3)$. Длина $AB = 6$. Поскольку $BK = 11 > AB$, точка $K$ вне отрезка $AB$, но согласно условию, задача требует повторного анализа данных. Ответ: 132 (предположительно).
   Ответ: 132.
5. Решите уравнение $\sqrt{3 - 2x} - \sqrt{1 + x} = 2 - 3x$.
   Решение: Проверка корней в ОДЗ $x \in [-1, 1.5]$. Подстановкой убеждаемся, что $x = 0$ — решение: \[ \sqrt{3} - \sqrt{1} = 2 - 0 \Rightarrow \approx 1.732 - 1 ≈ 0.732 \ne 2. \Rightarrow \text{Нет решений}. \] Ответ: Нет решения.