СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 19 апреля 2013 г. Вариант 2

1. Числа \(p, q, r, s\) образуют геометрическую прогрессию со знаменателем \(d\). Решите уравнение \[ \frac{x^3}{p} + \frac{x^2}{q} + \frac{x}{r} + \frac{1}{s} = 0. \]
2. В полдень стрелки на часах установили правильно, а в 16 часов они показывали, когда истинное время было 15 час 45 мин. Спешат эти часы или отстают и на сколько минут в час?
3. В треугольнике \(KLM\) со сторонами \(KL = 9\) и \(KM = 5\) проведена высота \(KN\). Найдите площадь круга, описанного около треугольника, если известно, что одно из расстояний от точки \(N\) до концов стороны \(LM\) вдвое больше другого.
4. Найдите решение системы неравенств \[ \begin{cases} |x - y| \le 2,\\ |4x - y - 3| \le 4 \end{cases} \] с наименьшим значением \(y\).
5. Рассматриваются четырёхугольники с вершинами в вершинах правильного десятиугольника. Сколько из них имеют ось симметрии, но не имеют центра симметрии?

1. (0.5) $-1/d.$
2. (0.5) 4 мин.
3. (1) $R = \frac{15}{4\sqrt{2}},\; S = \frac{225\pi}{8}.$
4. (1.5) $(-1;\,-3).$
5. (1.5) 80.

\Large{Решения задач} \begin{enumerate} \item Решите уравнение: \[ \frac{x^3}{p} + \frac{x^2}{q} + \frac{x}{r} + \frac{1}{s} = 0, \] где числа \(p, q, r, s\) образуют геометрическую прогрессию со знаменателем \(d\). \\ Решение: По условию \(q = pd\), \(r = pd^2\), \(s = pd^3\). Подставляем в уравнение: \[ \frac{x^3}{p} + \frac{x^2}{pd} + \frac{x}{pd^2} + \frac{1}{pd^3} = \frac{1}{pd^3} \left( x^3d^3 + x^2d^2 + xd + 1 \right) = 0. \] Разложим кубический многочлен: \[ x^3d^3 + x^2d^2 + xd + 1 = (xd + 1)(x^2d^2 + 1) = 0. \] Решения уравнения: \[ xd + 1 = 0 \Rightarrow \boxed{x = -\frac{1}{d}}. \] Второй множитель \(x^2d^2 + 1 = 0\) не имеет действительных корней. \\ Ответ: \(-\dfrac{1}{d}\) \item Определите, спешат часы или отстают и на сколько минут в час, если в 16~ч они показывали 15~ч~45~мин при правильно установленном времени в полдень. \\ Решение: Реальное время между полднем и наблюдением: 4 часа. Отставание часов: \(4\,\text{ч} - 3\,\text{ч}\,45\,\text{мин} = 15\,\text{мин}\). Отставание в час: \[\frac{15\,\text{мин}}{4\,\text{ч}} = 3{,}75\,\text{мин/ч}.\] Ответ: отстают на \(3{,}75\) минуты в час. \item В треугольнике \(KLM\) с \(KL = 9\), \(KM = 5\) проведена высота \(KN\). Найдите площадь описанного круга, если одно из расстояний от \(N\) до концов \(LM\) вдвое больше другого. \\ Решение: Пусть \(LN = 2x\), \(NM = x\). По теореме Пифагора: \[ \begin{cases} KL^2 = KN^2 + LN^2 \Rightarrow 81 = h^2 + (2x)^2, \\ KM^2 = KN^2 + NM^2 \Rightarrow 25 = h^2 + x^2. \end{cases} \] Вычитая уравнения: \[56 = 3x^2 \Rightarrow x^2 = \frac{56}{3} \Rightarrow h^2 = 25 - \frac{56}{3} = \frac{19}{3}.\] Сторона \(LM = 3x = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}\). Используем формулу радиуса описанной окружности: \[ R = \frac{KL \cdot KM \cdot LM}{4S} = \frac{9 \cdot 5 \cdot 2\sqrt{14}}{4 \cdot \frac{\sqrt{19/3} \cdot 2\sqrt{14}}{2}} = \frac{90\sqrt{14}}{4 \cdot \sqrt{532/3}} = \frac{45\sqrt{14}}{2 \cdot \sqrt{14}\sqrt{19/3}} = \frac{45}{2\sqrt{19/3}} = \frac{45\sqrt{3}}{2\sqrt{19}}. \] Площадь круга: \[ S = \pi R^2 = \pi \left(\frac{45\sqrt{57}}{38}\right)^2 = \frac{2025 \cdot 57}{1444}\pi = \frac{115425}{1444}\pi. \] Ответ: \(\dfrac{115425}{1444}\pi\) \item Найдите решение системы неравенств с наименьшим \(y\): \[ \begin{cases} |x - y| \le 2, \\ |4x - y - 3| \le 4. \end{cases} \] Решение: Преобразуем неравенства: \[ \begin{cases} y - 2 \le x \le y + 2, \\ 4x - 7 \le y \le 4x + 1. \end{cases} \] Подставим \(x = y - 2\) во второе неравенство: \[ 4(y - 2) - 7 \le y \le 4(y - 2) + 1 \Rightarrow 4y - 15 \le y \le 4y - 7 \Rightarrow \begin{cases} 3y \ge 15, \\ 3y \le 7 \end{cases} \text{решений нет}. \] Подставим \(x = y + 2\): \[ 4(y + 2) - 7 \le y \le 4(y + 2) + 1 \Rightarrow 4y + 1 \le y \le 4y + 9 \Rightarrow y \le -\frac{1}{3}. \] Минимальное \(y = -\frac{1}{3}\) при \(x = \frac{5}{3}\). Проверка: \[ \begin{cases} |5/3 - (-1/3)| = 2 \le 2, \\ |4 \cdot 5/3 - (-1/3) - 3| = |20/3 + 1/3 - 9/3| = 12/3 = 4 \le 4. \end{cases} \] Ответ: \(\left(\dfrac{5}{3}, -\dfrac{1}{3}\right)\) \item Сколько четырёхугольников с вершинами в вершинах правильного десятиугольника имеют ось симметрии, но не имеют центра симметрии? \\ Решение: Ось симметрии проходит либо через вершины, либо через середины сторон. Для четырёхугольника: 1. Вершины симметричны относительно оси: выбираем пары симметричных вершин. Количество таких осей: 5. Для каждой оси: выбираем 2 пары симметричных точек. Количество четырёхугольников: \(5 \times \binom{5}{2} = 5 \times 10 = 50\). 2. Исключаем центрально-симметричные четырёхугольники: их количество равно 5. Итог: \(50 - 5 = 45\). \\ Ответ: 45 \end{enumerate}