СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 19 апреля 2013 г. Вариант 1

1. Числа \(a,b,c,d\) образуют геометрическую прогрессию со знаменателем \(q\). Решите уравнение \[ a x^3 - b x^2 + c x - d = 0. \]
2. У Димы часы спешат на 2 минуты в час, а у Наташи отстают на 3 минуты в час. Когда они вместе дошли от дома до школы, то обнаружили, что по показаниям их часов Дима затратил на дорогу на 2 минуты больше Наташи. Сколько времени заняла у них дорога от дома до школы?
3. В треугольнике \(ABC\) со сторонами \(AB = 8\) и \(AC = 5\) проведена высота \(AD\). Найдите площадь круга, описанного около треугольника, если известно, что одно из расстояний от точки \(D\) до концов стороны \(BC\) вдвое больше другого.
4. Найдите решение системы неравенств \[ \begin{cases} |3x + 5y - 8|\le 4,\\ |2x + y - 3|\le 2 \end{cases} \] с наибольшим значением \(x\).
5. Рассматриваются четырёхугольники с вершинами в вершинах правильного восьмиугольника. Сколько из них имеют ось симметрии?

1. №1. (0.5) \(q\).
2. №2. (0.5) 24~мин.
3. №3. (1) \(\displaystyle \frac{100\pi}{3}\).
4. №4. (1.5) \((3; -1)\).
5. №5. (1.5) 38.

Решения задач

1. Решите уравнение \(a x^3 - b x^2 + c x - d = 0\), где \(a,b,c,d\) — геометрическая прогрессия со знаменателем \(q\):
   Решение: Поскольку \(b = aq\), \(c = aq^2\), \(d = aq^3\), подставим коэффициенты в уравнение: \[ a x^3 - a q x^2 + a q^2 x - a q^3 = 0 \] Разделим на \(a \neq 0\): \[ x^3 - q x^2 + q^2 x - q^3 = 0 \] Группируем: \[ x^2(x - q) + q^2(x - q) = 0 \Rightarrow (x - q)(x^2 + q^2) = 0 \] Корни: \[ x = q; \quad x = \pm iq \] Действительный корень \(x = q\).
   Ответ: \(x = q\).
   
   
2. Время пути Димы и Наташи:
   Решение: Пусть реальное время движения \(t\) минут. Показания часов Димы: \(t + \frac{2t}{60} = \frac{31t}{30}\). Показания Наташи: \(t - \frac{3t}{60} = \frac{19t}{20}\). Разница показаний: \[ \frac{31t}{30} - \frac{19t}{20} = 2 \Rightarrow \frac{5t}{60} = 2 \Rightarrow t = 24 \text{ минуты}. \\ \] Ответ: 24 минуты.
   
   
3. Площадь круга около треугольника \(ABC\):
   Решение: Пусть высота \(AD = h\). Из условий \(BD = 2DC\) и длин сторон: \[ BD^2 = 64 - h^2; \quad DC^2 = 25 - h^2 \] Из \(BD = 2DC\): \[ 64 - h^2 = 4(25 - h^2) \Rightarrow h = 2\sqrt{3}; \quad BC = 3\sqrt{13} \] Площадь треугольника \(S = 3\sqrt{39}\). Радиус описанного круга: \[ R = \frac{abc}{4S} = \frac{120\sqrt{13}}{12\sqrt{39}} = \frac{10\sqrt{3}}{3} \] Площадь круга: \[ \pi R^2 = \frac{100}{3} \pi \\ \] Ответ: \(\frac{100}{3} \pi\).
   
   
4. Найти решение системы неравенств с максимальным \(x\):
   Решение: Рассмотрим граничные условия: \[ \begin{cases} 3x + 5y = 12 \\ 2x + y = 5 \end{cases} \Rightarrow y = 5 - 2x \] Подстановка: \[ 3x + 5(5 - 2x) = 12 \Rightarrow x = 3 \quad (y = -1) \] Проверка выполнимости остальных условий подтверждает решение: \(|3(3) + 5(-1) - 8| = 4 \leq 4\); \(|2(3) + (-1) - 3| = 2 \leq 2\).
   Ответ: \((3, -1)\).
   
   
5. Четырёхугольники с осью симметрии в восьмиугольнике:
   Решение: Для каждой из 8 осей симметрии (4 через вершины, 4 через середины сторон) существует 6 симметричных четырёхугольников. Каждый симметричный четырёхугольник учитывается ровно один раз для своей оси.
   Общее количество: \(8 \times 6 = 48\).
   Ответ: 48.