СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2015 год вариант 1

1. Произведение возрастов Машиных братьев равно 1664. Младший из братьев вдвое моложе старшего. Сколько у Маши братьев и сколько им лет?
2. Сравнить числа \(2015^{2014} + 2014^{2015}\) и \(2015^{2015} + 2014^{2014}\).
3. Вася и Петя ходят по лестнице многоэтажного дома челноком, т.е. поднимаются до последнего этажа, спускаются до первого и обратно… Стартовали они с 3-го этажа и пошли в разные стороны, затем встретились на 7, затем на 11, снова на 7 и последний раз на 3. Сколько этажей в доме? (скорости у Пети и Васи разные, но постоянные по величине)
4. В равнобедренном треугольнике \(ABC\) (\(AB=BC\)) угол \(ABC\) равен \(44^\circ\). Внутри угла \(ABC\) и вне треугольника взята точка \(M\) так, что угол \(CAM\) равен \(10^\circ\), а угол \(ACM\) равен \(12^\circ\). Найти углы треугольника \(BCM\).
5. При каких значениях параметра \(a\) уравнение \[ \frac{(x^2 + x - 2)(x^2 + 2x - 3)}{(x^2 - 3x + 2)(x^2 + 2x - 3)} = a \] имеет хотя бы одно решение?

Решения задач

1. Произведение возрастов Машиных братьев равно 1664. Младший из братьев вдвое моложе старшего. Сколько у Маши братьев и сколько им лет?
   Решение: Разложим 1664 на простые множители:
   \(1664 = 2^{\tt 7} \times 13\)
   Поскольку младший брат вдвое моложе старшего, их возраст можно выразить как \(k\) и \(2k\). Оставшиеся множители должны быть целыми числами между \(k\) и \(2k\). Подходящим вариантом будет:
   \(1664 = 8 \times 13 \times 16\)
   Проверим: старший брат — 16 лет, младший — 8 лет (16 = 2 × 8), третий брат — возраста 13 лет. Все множители взаимно просты.
   Ответ: 3 брата, возрасты 8, 13 и 16 лет.
2. Сравнить числа \(2015^{2014} + 2014^{2015}\) и \(2015^{2015} + 2014^{2014}\).
   Решение: Рассмотрим разность: \[ (2015^{2015} + 2014^{2014}) - (2015^{2014} + 2014^{2015}) = 2015^{2014}(2015 - 1) - 2014^{2014}(2014 - 1) \] \[ 2015^{2014} \cdot 2014 - 2014^{2014} \cdot 2013 = 2014 \cdot 2015^{2014} - 2013 \cdot 2014^{2014} 2015^{2014} + 2014^{2015}\]
3. Вася и Петя ходят по лестнице, стартовав с 3-го этажа и встретившись на 7, 11, 7 и 3. Найти количество этажей в доме.
   Решение: Обозначим этажи как \(N\), скорости \(v\) (Вася) и \(u\) (Петя). При первой встрече они прошли путь \(S_1\) и \(N - S_1\) соответственно. Координаты встреч соответствуют арифметической прогрессии:
   \(3\), \(7\), \(11\), \(7\), \(3\) — шаг 4 этажа между встречами.
   Для челночного движения период полного цикла равен \(4(N-1)\). Разность координат между точками встречи: \(11 - 7 = 4\). Из симметрии находим \(N = 15\) этажей. Проверка: Переходы между этажами согласуются с закономерностью при длине дома 15 этажей.
   Ответ: 15 этажей.
4. В равнобедренном треугольнике \(ABC\) (\(AB=BC\)), угол \(ABC=44^\circ\). Точка \(M\) внутри угла \(ABC\) так, что \(\angle CAM = 10^\circ\), \(\angle ACM = 12^\circ\). Найти углы треугольника \(BCM\).
   Решение:
   1. Треугольник \(ABC\): \(AB = BC\), \(\angle ABC = 44^\circ\), значит, \(\angle BAC = \angle BCA = 68^\circ\).
   2. Из точки \(M\): \(\angle CAM = 10^\circ\), тогда \(\angle BAM = 68^\circ - 10^\circ = 58^\circ\).
   3. В треугольнике \(ACM\): сумма углов \(180^\circ\), значит, \(\angle AMC = 180^\circ - 10^\circ - 12^\circ = 158^\circ\).
   4. Рассмотрим треугольник \(BCM\): \(\angle BCM = 68^\circ - 12^\circ = 56^\circ\). По теореме синусов для треугольников \(BCM\) и \(ACB\) находим остальные углы: \[ \angle BMC = 180^\circ - \angle BCM - \angle ABC = 180^\circ - 56^\circ - 44^\circ = 80^\circ. \]
   
   Ответ: углы треугольника \(BCM\): \(\angle BCM = 56^\circ\), \(\angle BMC = 80^\circ\), \(\angle CBM = 44^\circ\).
5. Найти при каких \(a\) уравнение имеет решение: \[ \frac{(x^2 + x - 2)(x^2 + 2x - 3)}{(x^2 - 3x + 2)(x^2 + 2x - 3)} = a \]
   Решение: Сократим общие множители: \[ \frac{(x+2)(x-1)(x+3)(x-1)}{(x-1)(x-2)(x+3)(x-1)} = \frac{x+2}{x-2} = a. \] Учитывая ОДЗ: \(x \neq 1\), \(x \neq 2\), \(x \neq -3\). Решаем уравнение: \[ \frac{x+2}{x-2} = a \quad \rightarrow \quad x = \frac{2a + 2}{a - 1}. \] Чтобы решение существовало, знаменатель \(a - 1 \neq 0\) и \(x \neq 1,2,-3\). Подставляя \(x\), получаем условия: 1) \( \frac{2a + 2}{a - 1} \neq -3 \Rightarrow a \neq \frac{4}{5} \); 2) \( \frac{2a + 2}{a - 1} \neq 2 \Rightarrow 2a + 2 \neq 2a - 2 \Rightarrow \) всегда верно.
   Ответ: \(a \in \mathbb{R} \setminus \{1, \frac{4}{5}\}\).