СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2019 год вариант 9

1. В 8:00 из пункта \(A\) вышел пешеход, а в 9:00 вслед за ним отправился велосипедист, который догнал пешехода в 9:20. В какой момент велосипедист догнал бы пешехода, если бы выехал на 30 мин позже?
2. В трапеции \(ABCD\) с основаниями \(BC = 2\) и \(AD = 5\) через середину \(O\) диагонали \(BD\) провели прямую \(AO\). В каком отношении эта прямая делит площадь треугольника \(BCD\)?
3. Запишите квадратное уравнение с корнями \(\frac{1}{x_1^2}\) и \(\frac{1}{x_2^2}\), где \(x_1, x_2\) — корни уравнения \[ x^2 + 2019x - 1 = 0. \]
4. Последовательность \(b_1, b_2, \dots\) — непостоянная геометрическая прогрессия. Каков её знаменатель, если \(b_1, b_3, b_4\) — положительная арифметическая прогрессия?
5. Решите уравнение \[ 3\sqrt{x^{2018}} + 5\lvert x\rvert \;=\; 3\sqrt{(1 - 4x)^{2018}} + 5\lvert 1 - 4x\rvert. \]

1. 10 ч.~00 мин.
2. $11:5$
3. $x^2 - 4076363x + 1 = 0$
4. $\displaystyle\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$
5. $x = \frac{1}{5}$ и $x = \frac{1}{3}$

Решения задач

1. В 8:00 из пункта \(A\) вышел пешеход, а в 9:00 вслед за ним отправился велосипедист, который догнал пешехода в 9:20. В какой момент велосипедист догнал бы пешехода, если бы выехал на 30 мин позже?
   Решение: Пусть скорость пешехода \(v\) км/ч, велосипедиста \(u\) км/ч.
   Пешеход до встречи в 9:20 шёл 1 час 20 минут = \(\frac{4}{3}\) часа, велосипедист ехал 20 минут = \(\frac{1}{3}\) часа.
   Составим уравнение: \(v \cdot \frac{4}{3} = u \cdot \frac{1}{3} \Rightarrow u = 4v\).
   Если велосипедист выедет в 9:30, пешеход к этому моменту уже будет в пути 1,5 часа. Пусть время до встречи \(t\) часов:
   \(v(1,5 + t) = 4v \cdot t \Rightarrow 1,5 + t = 4t \Rightarrow t = 0,5\) часа = 30 минут.
   Встреча произойдёт в \(9:30 + 0:30 = 10:00\).
   Ответ: в 10:00.
2. В трапеции \(ABCD\) с основаниями \(BC = 2\) и \(AD = 5\) через середину \(O\) диагонали \(BD\) провели прямую \(AO\). В каком отношении эта прямая делит площадь треугольника \(BCD\)?
   Решение: Пусть \(M\) — точка пересечения \(AO\) с \(BC\). Проведём \(BE \parallel AO\) до пересечения с \(AD\) в точке \(E\).
   Так как \(O\) — середина \(BD\), то \(BE = 2OM\). По теореме Фалеса: \(\frac{BM}{MC} = \frac{AE}{ED} = \frac{5}{2}\).
   Площадь треугольника \(BCD\) делится прямой \(AO\) пропорционально отрезкам \(BM:MC = 5:2\).
   Ответ: \(5:2\).
3. Запишите квадратное уравнение с корнями \(\frac{1}{x_1^2}\) и \(\frac{1}{x_2^2}\), где \(x_1, x_2\) — корни уравнения \(x^2 + 2019x - 1 = 0\).
   Решение: По теореме Виета: \[ x_1 + x_2 = -2019,\quad x_1x_2 = -1 \]
   Сумма новых корней: \[ \frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{(x_1x_2)^2} = \frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{1} = 2019^2 + 2 \]
   Произведение новых корней: \[ \frac{1}{x_1^2} \cdot \frac{1}{x_2^2} = \frac{1}{(x_1x_2)^2} = 1 \]
   Уравнение: \(t^2 - (2019^2 + 2)t + 1 = 0\).
   Ответ: \(t^2 - (2019^2 + 2)t + 1 = 0\).
4. Последовательность \(b_1, b_2, \dots\) — непостоянная геометрическая прогрессия. Каков её знаменатель, если \(b_1, b_3, b_4\) — положительная арифметическая прогрессия?
   Решение: Пусть знаменатель прогрессии \(q\). Тогда: \[ 2b_3 = b_1 + b_4 \Rightarrow 2b_1q^2 = b_1 + b_1q^3 \Rightarrow 2q^2 = 1 + q^3 \]
   Решаем уравнение: \[ q^3 - 2q^2 + 1 = 0 \Rightarrow (q - 1)(q^2 - q - 1) = 0 \]
   Так как прогрессия непостоянная, \(q \neq 1\). Корни квадратного уравнения: \[ q = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \]
   Условию \(b_1, b_3, b_4 > 0\) удовлетворяет \(q = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\).
   Ответ: \(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\).
5. Решите уравнение \[ 3\sqrt{x^{2018}} + 5\lvert x\rvert = 3\sqrt{(1 - 4x)^{2018}} + 5\lvert 1 - 4x\rvert. \] Решение: Учитывая чётность степеней и модули: \[ 3|x|^{1009} + 5|x| = 3|1 - 4x|^{1009} + 5|1 - 4x| \]
   Рассмотрим два случая:
   1. \(x = 1 - 4x \Rightarrow x = \frac{1}{5}\). Проверка подтверждает решение.
   2. \(x = -(1 - 4x) \Rightarrow x = \frac{1}{3}\). Подстановка даёт неверное равенство.
   
   Ответ: \(x = \frac{1}{5}\).