СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2019 год вариант 10

1. В 8:00 из пункта \(A\) выехал велосипедист, а в 10:00 вслед за ним отправился мотоциклист, который догнал велосипедиста в 11:00. В какой момент мотоциклист догнал бы велосипедиста, если бы выехал на 30~мин позже?
2. В трапеции \(ABCD\) с основаниями \(BC = 3\) и \(AD = 5\) через середину \(O\) диагонали \(BD\) провели прямую \(AO\). В каком отношении эта прямая делит площадь треугольника \(BCD\)?
3. Запишите квадратное уравнение с корнями \(\frac{1}{x_1}\) и \(\frac{1}{x_2}\), где \(x_1, x_2\) — корни уравнения \[ x^2 - 2019x - 1 = 0. \]
4. Последовательность \(b_1, b_2, \dots\) — непостоянная геометрическая прогрессия. Каков её знаменатель, если \(b_1, b_2, b_4\) — положительная арифметическая прогрессия?
5. Решите уравнение \[ 5\sqrt{x^{2020}} + 4\lvert x\rvert \;=\; 5\sqrt{(1 - 3x)^{2020}} + 4\lvert 1 - 3x\rvert. \]

1. 11 ч. 45 мин.
2. 9:5
3. \(x^2 - 4076363x + 1 = 0\)
4. \(\displaystyle\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\)
5. \(x = \tfrac{1}{4}\) и \(x = \tfrac{1}{2}\)

Решения задач

1. В 8:00 из пункта \(A\) выехал велосипедист, а в 10:00 вслед за ним отправился мотоциклист, который догнал велосипедиста в 11:00. В какой момент мотоциклист догнал бы велосипедиста, если бы выехал на 30~мин позже?
   Решение: Пусть скорость велосипедиста \(v\), мотоциклиста \(u\). За 3 часа велосипедист проехал \(3v\), мотоциклист за 1 час — \(u\). Из равенства расстояний: \(3v = u \Rightarrow u = 3v\).
   При выезде мотоциклиста в 10:30 велосипедист уже проехал \(2{,}5v\). Разность скоростей \(u - v = 2v\). Время до встречи: \(\frac{2{,}5v}{2v} = 1{,}25\) часа = 1 час 15 минут.
   Встреча произойдёт в \(10:30 + 1:15 = 11:45\).
   Ответ: 11:45.
2. В трапеции \(ABCD\) с основаниями \(BC = 3\) и \(AD = 5\) через середину \(O\) диагонали \(BD\) провели прямую \(AO\). В каком отношении эта прямая делит площадь треугольника \(BCD\)?
   Решение: Пусть \(E\) — точка пересечения \(AO\) с \(CD\). Координаты точек: \(B(0,0)\), \(C(3,0)\), \(D(5,h)\), \(O(2{,}5, h/2)\). Уравнение прямой \(AO\): \(y = h - \frac{h}{5}x\).
   Уравнение \(CD\): \(y = \frac{h}{2}(x - 3)\). Точка пересечения: \[ h - \frac{h}{5}x = \frac{h}{2}(x - 3) \Rightarrow x = \frac{25}{7}, \quad y = \frac{2h}{7}. \] Отношение отрезков \(CE:ED = \frac{4}{7}:\frac{10}{7} = 2:5\). Площади частей треугольника \(BCD\) относятся как \(2:5\).
   Ответ: \(2:5\).
3. Запишите квадратное уравнение с корнями \(\frac{1}{x_1}\) и \(\frac{1}{x_2}\), где \(x_1, x_2\) — корни уравнения \[ x^2 - 2019x - 1 = 0. \]
   Решение: По теореме Виета: \(x_1 + x_2 = 2019\), \(x_1x_2 = -1\). Новое уравнение: \[ y^2 - \left(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}\right)y + \frac{1}{x_1x_2} = 0. \] Подставляем: \[ \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = -2019, \quad \frac{1}{x_1x_2} = -1. \] Уравнение: \(y^2 + 2019y - 1 = 0\).
   Ответ: \(y^2 + 2019y - 1 = 0\).
4. Последовательность \(b_1, b_2, \dots\) — непостоянная геометрическая прогрессия. Каков её знаменатель, если \(b_1, b_2, b_4\) — положительная арифметическая прогрессия?
   Решение: Пусть знаменатель \(q\). Из условия арифметической прогрессии: \[ 2b_1q = b_1 + b_1q^3 \Rightarrow q^3 - 2q + 1 = 0. \] Корни: \(q = 1\) (не подходит, так как прогрессия непостоянная) и \(q = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}\).
   Ответ: \(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}\).
5. Решите уравнение \[ 5\sqrt{x^{2020}} + 4\lvert x\rvert \;=\; 5\sqrt{(1 - 3x)^{2020}} + 4\lvert 1 - 3x\rvert. \]
   Решение: Учитывая \(\sqrt{a^{2020}} = |a|^{1010}\), уравнение преобразуется: \[ 5|x|^{1010} + 4|x| = 5|1 - 3x|^{1010} + 4|1 - 3x|. \] Рассмотрим случаи:
   • \(x \geq 0\), \(1 - 3x \geq 0\) (\(x \leq \frac{1}{3}\)): \[ 5x^{1010} + 4x = 5(1 - 3x)^{1010} + 4(1 - 3x) \Rightarrow x = \frac{1}{4}. \]
   • \(x \geq 0\), \(1 - 3x \frac{1}{3}\)): \[ 5x^{1010} + 4x = 5(3x - 1)^{1010} + 4(3x - 1) \Rightarrow x = \frac{1}{2}. \]
   Ответ: \(\frac{1}{4}\); \(\frac{1}{2}\).