СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2019 год вариант 8

1. В 8:00 из пункта \(A\) выехал велосипедист, а в 11:00 вслед за ним отправился мотоциклист, который догнал велосипедиста в 11:20. В какой момент должен был выехать мотоциклист из пункта \(A\), чтобы догнать велосипедиста в 11:00?
2. Последовательность \(a_1,a_2,\ldots\) — возрастающая арифметическая прогрессия, а её часть \(a_1,a_4,a_{13},\ldots\) — геометрическая прогрессия. Какой номер имеет член арифметической прогрессии, совпадающий с четвёртым членом этой геометрической прогрессии?
3. В трапеции \(ABCD\) с основаниями \(BC=3\) и \(AD=7\) через середину \(O\) диагонали \(BD\) провели прямую \(CO\). В каком отношении эта прямая делит площадь треугольника \(ABD\)?
4. Запишите квадратное уравнение с корнями \(\frac{x_2}{x_1}\) и \(\frac{x_1}{x_2}\), где \(x_1,x_2\) — корни уравнения \[ x^2 - x - 2021 = 0. \]
5. Решите уравнение \[ 2x^{2018} + 7x^{2020} = 2\bigl(5x - 1\bigr)^{2018} + 7\bigl(5x - 1\bigr)^{2020}. \]

1. 10 ч.~42 мин.
2. 40
3. $11:3$
4. $x^2 + \displaystyle\frac{4043}{2021}x + 1 = 0$
5. $x = \tfrac14$ и $x = \tfrac16$

Решения задач

1. В 8:00 из пункта \(A\) выехал велосипедист, а в 11:00 вслед за ним отправился мотоциклист, который догнал велосипедиста в 11:20. В какой момент должен был выехать мотоциклист из пункта \(A\), чтобы догнать велосипедиста в 11:00?
   Решение: Велосипедист двигался \(3\frac{1}{3}\) часа (с 8:00 до 11:20) со скоростью \(v\), а мотоциклист — 20 минут (\(\frac{1}{3}\) часа) со скоростью \(u\). Из равенства путей: \[ v \cdot \frac{10}{3} = u \cdot \frac{1}{3} \quad \Rightarrow \quad u = 10v \] Для догонки в 11:00 путь велосипедиста: \(v \cdot 3 = u \cdot t\). Подставляем \(u = 10v\): \[ 3v = 10v \cdot t \quad \Rightarrow \quad t = \frac{3}{10} \text{ часа} = 18 \text{ минут} \] Мотоциклист должен выехать в \(11:00 - 0:18 = 10:42\).
   Ответ: 10:42.
2. Последовательность \(a_1,a_2,\ldots\) — возрастающая арифметическая прогрессия, а её часть \(a_1,a_4,a_{13},\ldots\) — геометрическая прогрессия. Какой номер имеет член арифметической прогрессии, совпадающий с четвёртым членом этой геометрической прогрессии?
   Решение: Пусть разность арифметической прогрессии \(d\). Тогда \(a_1 = a\), \(a_4 = a + 3d\), \(a_{13} = a + 12d\). По условию геометрической прогрессии: \[ (a + 3d)^2 = a(a + 12d) \quad \Rightarrow \quad 3d = 2a \quad \Rightarrow \quad d = \frac{2}{3}a \] Знаменатель геометрической прогрессии \(q = \frac{a + 3d}{a} = 3\). Четвёртый член геометрической прогрессии: \[ a_1 \cdot q^3 = a \cdot 27 = 27a \] Найдём номер члена арифметической прогрессии \(a_n = 27a\): \[ a + (n - 1)\cdot\frac{2}{3}a = 27a \quad \Rightarrow \quad (n - 1)\cdot \frac{2}{3} = 26 \quad \Rightarrow \quad n = 40 \] Ответ: 40.
3. В трапеции \(ABCD\) с основаниями \(BC=3\) и \(AD=7\) через середину \(O\) диагонали \(BD\) провели прямую \(CO\). В каком отношении эта прямая делит площадь треугольника \(ABD\)?
   Решение: Точка \(O\) — середина \(BD\). Прямая \(CO\) пересекает \(AD\) в точке \(E\), деля \(AD\) в отношении \(4:3\) (\(AE=4\), \(ED=3\)). Площадь треугольника \(ABD\) равна \(\frac{7h}{2}\). Площадь треугольника \(AEO\) вычисляется через координаты: \[ S_{AEO} = \frac{1}{2} |0 \cdot (h - \frac{h}{2}) + 4 \cdot (\frac{h}{2} - h) + 3{,}5 \cdot (h - h)| = h \] Оставшаяся площадь \(\frac{7h}{2} - h = \frac{5h}{2}\). Отношение площадей: \[ \frac{h}{\frac{5h}{2}} = \frac{2}{5} \] Ответ: 2:5.
4. Запишите квадратное уравнение с корнями \(\frac{x_2}{x_1}\) и \(\frac{x_1}{x_2}\), где \(x_1,x_2\) — корни уравнения \(x^2 - x - 2021 = 0\).
   Решение: Сумма и произведение корней исходного уравнения: \[ x_1 + x_2 = 1, \quad x_1 x_2 = -2021 \] Сумма новых корней: \[ \frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2} = \frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2}{x_1 x_2} = \frac{1^2 - 2(-2021)}{-2021} = -\frac{4043}{2021} \] Произведение новых корней: \[ \frac{x_2}{x_1} \cdot \frac{x_1}{x_2} = 1 \] Уравнение: \[ 2021 t^2 + 4043 t + 2021 = 0 \] Ответ: 2021 \(t^2\) + 4043 t + 2021 = 0.
5. Решите уравнение \[ 2x^{2018} + 7x^{2020} = 2\bigl(5x - 1\bigr)^{2018} + 7\bigl(5x - 1\bigr)^{2020}. \] Решение: Замена \(y = 5x - 1\). Уравнение принимает вид: \[ 2x^{k} + 7x^{k+2} = 2y^{k} + 7y^{k+2} \] где \(k = 2018\). Решения: \(x = y\) или \(x = -y\).
   • \(x = y = 5x - 1 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{4}\)
   • \(x = -y = -(5x - 1) \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{6}\)
   Ответ: $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{6}$