СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2019 год вариант 7

1. В 9:00 из пункта \(A\) вышел пешеход, а в 10:00 вслед за ним отправился велосипедист, который догнал пешехода в 10:20. В какой момент должен был выехать велосипедист из пункта \(A\), чтобы догнать пешехода в 10:00?
2. Последовательность \(a_1, a_2, \ldots\) — возрастающая арифметическая прогрессия, а её часть \(a_1, a_3, a_{11}, \ldots\) — геометрическая прогрессия. Какой номер имеет член арифметической прогрессии, совпадающий с четвёртым членом этой геометрической прогрессии?
3. В трапеции \(ABCD\) с основаниями \(BC = 2\) и \(AD = 5\) через середину \(O\) диагонали \(AC\) провели прямую \(BO\). В каком отношении эта прямая делит площадь треугольника \(ACD\)?
4. Запишите квадратное уравнение с корнями \(\frac{x_1}{x_2}\) и \(\frac{x_2}{x_1}\), где \(x_1, x_2\) — корни уравнения \[ x^2 + x - 2019 = 0. \]
5. Решите уравнение \[ 3x^{2020} + 5x^{2018} = 3(1 - 4x)^{2020} + 5(1 - 4x)^{2018}. \]

1. 9 ч.\ 45 мин.
2. 43
3. $4:1$
4. $x^2 + \dfrac{4039}{2019}x + 1 = 0$
5. $x = \tfrac15$ и $x = \tfrac13$

Решения задач

1. В 10:20 пешеход был в пути 1 ч 20 мин ($\frac{4}{3}$ ч), велосипедист — 20 мин ($\frac{1}{3}$ ч). Пусть скорость пешехода — $v$, велосипедиста — $u$. Тогда: \[ v \cdot \frac{4}{3} = u \cdot \frac{1}{3} \quad \Rightarrow \quad u = 4v \] Для догонки в 10:00 пешеход пройдет $v \cdot 1$ км. Велосипедист должен покрыть это расстояние за время $t$: \[ 4v \cdot t = v \quad \Rightarrow \quad t = \frac{1}{4} \text{ ч} = 15 \text{ мин} \] Значит, выехать нужно в $10:00 - 15$ мин = 9:45.
2. Пусть $a_n = a_1 + (n-1)d$. Из условия геом. прогрессии $a_3^2 = a_1 \cdot a_{11}$: \[ (a_1 + 2d)^2 = a_1(a_1 + 10d) \quad \Rightarrow \quad 4a_1d + 4d^2 = 10a_1d \quad \Rightarrow \quad 5a_1 = 2d \] Для геом. прогрессии: $a_1$, $a_1 + 2d$, $a_1 + 10d$, $...$ Знаменатель $q = 4$. Четвёртый член: $a_1 \cdot 4^3 = a_1 + (n-1)d$. Подставляя $a_1 = \frac{2d}{5}$: \[ \frac{2d}{5} \cdot 64 = \frac{2d}{5} + (n-1)d \quad \Rightarrow \quad \frac{128d}{5} = \frac{2d + 5d(n-1)}{5} \quad \Rightarrow \quad n = 43 \] Ответ: 43.
3. Пусть $O$ — середина $AC$. Прямая $BO$ пересекает $AD$ в точке $K$, которая делит $AD$ в отношении $2:3$. Площадь треугольника $ACD$ делится на части пропорционально этому отношению. Искомое отношение площадей $\frac{S_{AKO}}{S_{KCD}} = \boxed{2:3}$.
4. Корни исходного уравнения: $x_1 + x_2 = -1$, $x_1x_2 = -2019$. Новые корни: $\frac{x_1}{x_2}$ и $\frac{x_2}{x_1}$. Сумма корней: \[ \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2} = \frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{x_1x_2} = \frac{1 + 4038}{-2019} = -\frac{4039}{2019} \] Произведение корней: $1$. Уравнение: \[ 2019x^2 + 4039x + 2019 = 0 \] Ответ: 2019x^2 + 4039x + 2019 = 0.
5. Заметим, что уравнение симметрично относительно замены $x = 1 - 4x$ и $x = - (1 - 4x)$: \[ x = 1 - 4x \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{5}, \quad \quad x = - (1 - 4x) \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{3} \] Проверка подстановкой подтверждает оба решения. Ответ: \[\boxed{\frac{1}{5}}\], \[\boxed{\frac{1}{3}}\].