СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 10 в 11 класс 2016 год вариант 2

1. Два поезда отправились навстречу друг другу из пунктов \(A\) и \(B\) в 12:30. В 15:30 они прибыли на одну и ту же станцию, сделали остановку и, простояв одинаковое время, продолжили путь. Сколько времени длилась остановка, если первый поезд прибыл в пункт \(B\) в 18:30, а второй прибыл в пункт \(A\) в 21:00? Каждый поезд двигался с постоянной скоростью.
2. При каких значениях \(b\) расстояние между двумя различными точками, в которых парабола \[ y = x^2 + bx + 1 \] пересекает ось \(Ox\), не превосходит 7?
3. Найдите сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 4200, которые кратны 3 и не кратны 7.
4. Вокруг треугольника, стороны которого относятся как \(3:7:8\), описана окружность радиуса \(\tfrac{\sqrt{3}}{3}\). Найдите площадь этого треугольника.
5. На какую цифру оканчивается число \[ 42^{3003^{24}}? \]

Решения задач

1. Два поезда отправились навстречу друг другу из пунктов \(A\) и \(B\) в 12:30. В 15:30 они прибыли на одну и ту же станцию, сделали остановку и, простояв одинаковое время, продолжили путь. Сколько времени длилась остановка, если первый поезд прибыл в пункт \(B\) в 18:30, а второй прибыл в пункт \(A\) в 21:00? Каждый поезд двигался с постоянной скоростью.
   Решение: Пусть время остановки равно \(t\) часов. До встречи поезда двигались 3 часа (с 12:30 до 15:30). После встречи первый поезд прибыл в \(B\) через \(18:30 - 15:30 = 3\) часа, второй в \(A\) через \(21:00 - 15:30 = 5,5\) часов. С учетом остановки время движения после встречи:
   Первый поезд: \(3 - t\) часов
   Второй поезд: \(5,5 - t\) часов
   Отношение скоростей обратно пропорционально времени движения после встречи:
   \(\frac{v_1}{v_2} = \frac{5,5 - t}{3 - t}\)
   До встречи поезда прошли расстояния \(3v_1\) и \(3v_2\). Поскольку они встретились, сумма расстояний равна длине пути \(AB\):
   \(3v_1 + 3v_2 = AB\)
   После встречи первый поезд прошел \( (3 - t)v_1 = 3v_2 \), второй \( (5,5 - t)v_2 = 3v_1 \)
   Составим систему: \[ \begin{cases} (3 - t)v_1 = 3v_2 \\ (5,5 - t)v_2 = 3v_1 \end{cases} \] Подставим \(v_1 = \frac{3v_2}{3 - t}\) во второе уравнение: \[ (5,5 - t)v_2 = 3 \cdot \frac{3v_2}{3 - t} \] Сократим \(v_2\) и решим: \[ (5,5 - t)(3 - t) = 9 \\ 16,5 - 5,5t - 3t + t^2 = 9 \\ t^2 - 8,5t + 7,5 = 0 \\ D = 72,25 - 30 = 42,25 \\ t = \frac{8,5 \pm 6,5}{2} \Rightarrow t = 7,5 \text{ (не подходит)} \text{ или } t = 1 \] Ответ: 1 час.
2. При каких значениях \(b\) расстояние между двумя различными точками, в которых парабола \[ y = x^2 + bx + 1 \] пересекает ось \(Ox\), не превосходит 7?
   Решение: Парабола пересекает ось \(Ox\) при \(x^2 + bx + 1 = 0\). Дискриминант: \[ D = b^2 - 4 \geq 0 \Rightarrow |b| \geq 2 \] Расстояние между корнями: \[ |x_1 - x_2| = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2} = \sqrt{b^2 - 4} \] Условие задачи: \[ \sqrt{b^2 - 4} \leq 7 \\ b^2 - 4 \leq 49 \\ b^2 \leq 53 \\ |b| \leq \sqrt{53} \] Учитывая \( |b| \geq 2 \), получаем: \[ b \in [-\sqrt{53}; -2] \cup [2; \sqrt{53}] \] Ответ: \( b \in [-\sqrt{53}; -2] \cup [2; \sqrt{53}] \).
3. Найдите сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 4200, которые кратны 3 и не кратны 7.
   Решение: Сумма чисел кратных 3: \[ S_1 = 3 + 6 + \dots + 4200 = \frac{(3 + 4200) \cdot 1400}{2} = 2\,943\,000 \] Сумма чисел кратных 21: \[ S_2 = 21 + 42 + \dots + 4197 = \frac{(21 + 4197) \cdot 200}{2} = 421\,800 \] Искомая сумма: \[ S = S_1 - S_2 = 2\,943\,000 - 421\,800 = 2\,521\,200 \] Ответ: 2\,521\,200.
4. Вокруг треугольника, стороны которого относятся как \(3:7:8\), описана окружность радиуса \(\tfrac{\sqrt{3}}{3}\). Найдите площадь этого треугольника.
   Решение: Пусть стороны \(3k\), \(7k\), \(8k\). Радиус описанной окружности: \[ R = \frac{abc}{4S} = \frac{\sqrt{3}}{3} \] Полупериметр: \[ p = \frac{3k + 7k + 8k}{2} = 9k \] Площадь по формуле Герона: \[ S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} = \sqrt{9k \cdot 6k \cdot 2k \cdot k} = 6k^2\sqrt{3} \] Подставим в формулу радиуса: \[ \frac{3k \cdot 7k \cdot 8k}{4 \cdot 6k^2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \\ \frac{168k^3}{24k^2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \\ \frac{7k}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \\ k = \frac{1}{7} \] Площадь: \[ S = 6 \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^2 \cdot \sqrt{3} = \frac{6\sqrt{3}}{49} \] Ответ: \(\frac{6\sqrt{3}}{49}\).
5. На какую цифру оканчивается число \[ 42^{3003^{24}}? \]
   Решение: Последняя цифра числа 42 — 2. Исследуем \(2^{3003^{24}} \mod 10\). Период последних цифр для степеней 2: 4. Найдем показатель по модулю 4: \[ 3003 \equiv 3 \mod 4 \\ 3003^{24} \equiv 3^{24} \equiv (3^2)^{12} \equiv 1^{12} \equiv 1 \mod 4 \] Следовательно: \[ 2^{3003^{24}} \equiv 2^1 \equiv 2 \mod 10 \] Ответ: 2.