СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 10 в 11 класс 2016 год вариант 1

1. Два туриста вышли навстречу друг другу из пунктов \(A\) и \(B\) в 9:00. Они встретились в 12:00, некоторое время побеседовали и продолжили путь. Сколько времени длилась беседа, если первый турист пришёл в пункт \(B\) в 17:00, а второй пришёл в пункт \(A\) в 14:30? Каждый турист двигался с постоянной скоростью.
2. При каких значениях \(a\) расстояние между двумя различными точками, в которых парабола \[ y = x^2 + a x + 1 \] пересекает ось \(Ox\), не превосходит 3?
3. Найдите сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 3000, которые кратны 3 и не кратны 5.
4. Вокруг треугольника, стороны которого относятся как \(3:5:7\), описана окружность радиуса \(\tfrac{2}{\sqrt3}\). Найдите площадь этого треугольника.
5. На какую цифру оканчивается число \[ 22^{3003^{22}}? \]

Решения задач

1. Два туриста вышли навстречу друг другу из пунктов \(A\) и \(B\) в 9:00. Они встретились в 12:00, некоторое время побеседовали и продолжили путь. Сколько времени длилась беседа, если первый турист пришёл в пункт \(B\) в 17:00, а второй пришёл в пункт \(A\) в 14:30? Каждый турист двигался с постоянной скоростью.
   Решение: До встречи туристы шли 3 часа (с 9:00 до 12:00). После встречи первый турист потратил на путь до \(B\) 5 часов (с 12:00 до 17:00), а второй — 2,5 часа (с 12:00 до 14:30).
   Пусть \(v_1\) и \(v_2\) — скорости туристов. До встречи они прошли: \[ 3v_1 + 3v_2 = AB \] После встречи: \[ 5v_1 = 3v_2 \quad \text{и} \quad 2,5v_2 = 3v_1 \] Решая уравнения, находим \(v_1 = \frac{3}{5}v_2\). Время беседы \(t\) находим из разницы между фактическим временем движения и временем без беседы: \[ t = (5 + 2,5) - 3 = 4,5 \text{ часа} = 4 \text{ ч } 30 \text{ мин} \] Ответ: 4 часа 30 минут.
2. При каких значениях \(a\) расстояние между двумя различными точками, в которых парабола \[ y = x^2 + a x + 1 \] пересекает ось \(Ox\), не превосходит 3?
   Решение: Корни уравнения \(x^2 + ax + 1 = 0\): \[ x_{1,2} = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 - 4}}{2} \] Расстояние между корнями: \[ |x_1 - x_2| = \sqrt{a^2 - 4} \] Условие: \[ \sqrt{a^2 - 4} \leq 3 \quad \Rightarrow \quad a^2 - 4 \leq 9 \quad \Rightarrow \quad a^2 \leq 13 \] С учётом существования корней (\(a^2 \geq 4\)): \[ a \in [-\sqrt{13}, -2] \cup [2, \sqrt{13}] \] Ответ: \(a \in [-\sqrt{13}, -2] \cup [2, \sqrt{13}]\).
3. Найдите сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 3000, которые кратны 3 и не кратны 5.
   Решение: Сумма чисел, кратных 3: \[ S_3 = 3 \cdot \frac{1000 \cdot 1001}{2} = 1501500 \] Сумма чисел, кратных 15: \[ S_{15} = 15 \cdot \frac{200 \cdot 201}{2} = 301500 \] Искомая сумма: \[ S = S_3 - S_{15} = 1501500 - 301500 = 1200000 \] Ответ: 1 200 000.
4. Вокруг треугольника, стороны которого относятся как \(3:5:7\), описана окружность радиуса \(\tfrac{2}{\sqrt3}\). Найдите площадь этого треугольника.
   Решение: Пусть стороны \(3k\), \(5k\), \(7k\). По формуле радиуса описанной окружности: \[ R = \frac{abc}{4S} \quad \Rightarrow \quad \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{3k \cdot 5k \cdot 7k}{4S} \] Площадь по формуле Герона: \[ S = \sqrt{p(p - 3k)(p - 5k)(p - 7k)}, \quad p = \frac{15k}{2} \] Решая уравнения, находим \(k = \frac{2}{3}\). Площадь: \[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 3k \cdot 5k = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 3 \cdot \frac{2}{3} \cdot 5 \cdot \frac{2}{3} = \sqrt{3} \] Ответ: \(\sqrt{3}\).
5. На какую цифру оканчивается число \[ 22^{3003^{22}}? \]
   Решение: Последняя цифра 22 — 2. Цикл последних цифр степеней 2: 2, 4, 8, 6. Находим показатель степени по модулю 4: \[ 3003^{22} \equiv 3^{22} \equiv (3^2)^{11} \equiv 1^{11} \equiv 1 \mod 4 \] Последняя цифра: \[ 2^{1} = 2 \] Ответ: 2.