СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 10 в 11 класс весна 2015 Вариант 1 — Регион

СУНЦ МГУ школа Колмогорова

Весна 2015 год

Регион ФизМат вариант 1

1. Дана возрастающая геометрическая прогрессия, в которой сумма первых 2015 членов составляет 40% от суммы последующих 2015 членов. Найдите знаменатель этой прогрессии.
2. Пусть числа \(a<0\) и \(b\) таковы, что \(5a - b = -1\). Решите неравенство \[ a x^4 - b x^2 + 5 < 0. \]
3. Будем называть старшим делителем числа \(n\) самый большой из его делителей, отличных от самого числа \(n\). Аналогично, младший делитель числа \(n\) — это самый маленький его натуральный делитель, отличный от 1. Найдите все натуральные \(n\), для которых старший делитель в 65 раз больше младшего.
4. В остроугольном треугольнике \(ABC\) точка \(O\) — центр описанной окружности. Известно, что \(\angle C - \angle CBO = \alpha\). Найти радиус вписанной в треугольник \(AOC\) окружности, если \(AC = 4\).
5. Петров и Васечкин играют в интересную игру: Петров выписывает на доске квадратный трёхчлен \[ f(x) = a x^2 + b x + c, \] все коэффициенты которого — натуральные числа, меньшие 34. А Васечкин выписывает два разных натуральных числа \(m\) и \(n\), не превосходящие 34. Если разность \(f(m) - f(n)\) делится на 34 без остатка, то выигрывает Васечкин, а если не делится, то Петров. Определите, кто может гарантированно выиграть в этой игре, и найдите выигрышную стратегию.

Решения задач

1. Дана возрастающая геометрическая прогрессия, в которой сумма первых 2015 членов составляет 40% от суммы последующих 2015 членов. Найдите знаменатель этой прогрессии.
   Решение: Пусть \( b_1 \) — первый член прогрессии, \( q > 1 \) — знаменатель. Сумма первых 2015 членов: \[ S_{2015} = b_1 \cdot \frac{q^{2015} - 1}{q - 1}. \] Сумма следующих 2015 членов: \[ S' = S_{4030} - S_{2015} = b_1 \cdot \frac{q^{4030} - 1}{q - 1} - S_{2015} = S_{2015} \cdot q^{2015}. \] По условию \( S_{2015} = 0.4 \cdot S' \Rightarrow S_{2015} = 0.4 \cdot S_{2015} \cdot q^{2015} \). Сокращая \( S_{2015} \neq 0 \): \[ 1 = 0.4 \cdot q^{2015} \Rightarrow q^{2015} = 2.5 \Rightarrow q = 2.5^{\frac{1}{2015}} = \sqrt[2015]{\frac{5}{2}}. \] Ответ: \( q = \sqrt[2015]{\dfrac{5}{2}} \).
   
   
2. Пусть числа \(a<0\) и \(b\) таковы, что \(5a - b = -1\). Решите неравенство \[ a x^4 - b x^2 + 5 < 0. \] Решение: Из условия \( b = 5a + 1 \). Подставляем: \[ a x^4 - (5a + 1)x^2 + 5 < 0. \] Замена \( y = x^2 \geq 0 \): \[ a y^2 - (5a + 1)y + 5 < 0. \] Решение квадратного уравнения \( a y^2 - (5a + 1)y + 5 = 0 \): \[ D = (5a + 1)^2 - 20a = 25a^2 - 10a + 1 = (5a - 1)^2. \] Корни: \[ y_1 = \frac{5a + 1 + |5a - 1|}{2a}, \quad y_2 = \frac{5a + 1 - |5a - 1|}{2a}. \] Учитывая \( a < 0 \), выражение модуля: \( |5a - 1| = 1 - 5a \). Тогда: \[ y_1 = \frac{5a + 1 + 1 - 5a}{2a} = \frac{2}{2a} = \frac{1}{a} < 0, \quad y_2 = 5. \] Неравенство \( a(y - y_1)(y - y_2) < 0 \) при \( a 0 \). Т.к. \( y_1 < 0 y_2 = 5 \), т.е. \( x^2 > 5 \).
   Ответ: \( x \in (-\infty; -\sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}; +\infty) \).
   
   
3. Найдите все натуральные \(n\), для которых старший делитель в 65 раз больше младшего.
   Решение: Пусть \( m \) — младший делитель \( n \) (наименьший простой делитель), \( s = 65m \) — старший делитель (\( s = \frac{n}{m} \)). Тогда: \[ \frac{n}{m} = 65m \Rightarrow n = 65m^2. \] Поскольку \( m \) — наименьший простой делитель \( n \), \( m \) должно быть простым делителем 65 (2, 5, 13). Проверяем:
   • \( m = 2 \Rightarrow n = 65 \cdot 4 = 260. \) Листинг делителей: 2, 5, 13, ... Старший делитель \( 260 / 2 = 130 \), соотношение \( 130 / 2 = 65 \).
   • \( m = 5 \Rightarrow n = 65 \cdot 25 = 1625. \) Наименьший делитель 5, старший \( 1625 / 5 = 325 \), соотношение \( 325 / 5 = 65 \).
   • \( m = 13 \Rightarrow n = 65 \cdot 169 = 10985. \) Наименьший делитель 13, старший \( 10985 / 13 = 845 \), соотношение \( 845 / 13 = 65 \).
   Ответ: \( 260,\ 1625,\ 10985 \).
   
   
4. В остроугольном треугольнике \(ABC\) точка \(O\) — центр описанной окружности. Известно, что \(\angle C - \angle CBO = \alpha\). Найти радиус вписанной в треугольник \(AOC\) окружности, если \(AC = 4\).
   Решение: Обозначим \(\angle C = \gamma\), тогда \(\angle CBO = \gamma - \alpha\). Центральный угол \(\angle BOC = 2\gamma\). В треугольнике \(BOC\): \[ \angle CBO = \angle OBC = \frac{180^\circ - 2\gamma}{2} = 90^\circ - \gamma. \] По условию: \[ \gamma - (90^\circ - \gamma) = \alpha \Rightarrow 2\gamma - 90^\circ = \alpha \Rightarrow \gamma = 45^\circ + \frac{\alpha}{2}. \] Для треугольника \(AOC\): \[ AC = 4, \quad R_{AOC} = \frac{AC}{2 \sin \angle ABC} = \frac{4}{2 \sin \gamma}. \] Радиус вписанной окружности \(r = \frac{AC}{2} \cdot \cot \frac{\gamma}{2}\). После подстановки \(\gamma\): \[ r = 2 \cdot \cot \left(22.5^\circ + \frac{\alpha}{4}\right). \] Ответ: \( r = 2 \cdot \cot \left(22.5^\circ + \dfrac{\alpha}{4}\right) \).
   
   
5. Петров и Васечкин играют в игру: Петров выбирает квадратный трёхчлен с коэффициентами из натуральных чисел <34, Васечкин — числа \(m, n \leq 34\). Выигрывает Васечкин, если \(f(m) - f(n)\) делится на 34. Определите победителя.
   Решение: Васечкин может выбрать \(m = n + 17\). Тогда: \[ f(m) - f(n) = a(m^2 - n^2) + b(m - n) = (m - n)(a(m + n) + b) = 17(2a(n + 8.5) + b). \] Для делимости на 34 требуется, чтобы выражение было чётным. Если \(a\) чётное, то \(2a(n + 8.5)\) целое и чётное. Если \(a\) нечётное, то \(2a(n + 8.5)\) чётное при любом \(n\), так как \(2a(n + 8.5)\) — целое (если выбрать \(n\) целое). Тогда \(17(2a(n + 8.5) + b)\) всегда делится на 34. Васечкин гарантирует победу.
   Ответ: Васечкин может гарантированно выиграть.