СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 10 в 11 класс март 2015 Вариант 2 — Регион

СУНЦ МГУ школа Колмогорова

Март 2015 год

Регион ФизМат вариант 2

1. Некто положил 30000 руб. в банк на 2 года и получил 50400 руб. по окончании этого срока. Каков был годовой процент в первый год, если известно, что во второй год процент был в два раза меньше?
2. В каждую из \(n\) точек с координатами \(x=1,\,x=2,\,\dots,\,x=n\) положили по одному камню в порядке возрастания их веса. Вес самого лёгкого камня равен 4 кг. Вес каждого следующего камня меньше на 2 кг, чем удвоенный вес предыдущего. Найти суммарный вес первых 9 камней. Для каких \(n\) (\(8<n<16\)) камни можно разложить на две кучи одинакового веса?
3. Какие две последние цифры в десятичной записи числа \(\,9^{2015}\)?
4. Две окружности с радиусами 4 см и 9 см проходят через точку \(B\) и касаются прямой \(AC\) в точках \(A\) и \(C\), соответственно. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника \(ABC\).
5. Даны два квадратных трёхчлена \(f(x)\) и \(g(x)\), причём \(g(x) = -f(-x)\). График \(y = g(x)\) проходит через вершину параболы, являющейся графиком \(y = f(x)\). Эти два графика пересекают ось \(Ox\) в четырёх точках с абсциссами \(x_1 < x_2 < x_3 < x_4\). Известно, что \(x_4 - x_1 = 200\). Найдите \(x_3 - x_2\).

Решения задач

1. Некто положил 30000 руб. в банк на 2 года и получил 50400 руб. по окончании этого срока. Каков был годовой процент в первый год, если известно, что во второй год процент был в два раза меньше?
   Решение: Пусть годовой процент в первый год равен \( p \). Тогда сумма вклада через два года составит: \[ 30000 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right) \cdot \left(1 + \frac{p}{200}\right) = 50400 \] Раскрыв скобки и решив квадратное уравнение, находим \( p = 40% \).
   Ответ: 40.
   
   
2. В каждую из \(n\) точек с координатами \(x=1,\,x=2,\,\dots,\,x=n\) положили по одному камню в порядке возрастания их веса. Вес самого лёгкого камня равен 4 кг. Вес каждого следующего камня меньше на 2 кг, чем удвоенный вес предыдущего. Найти суммарный вес первых 9 камней. Для каких \(n\) (\(8<n<16\)) камни можно разложить на две кучи одинакового веса?
   Решение: Веса камней образуют последовательность: \(4, 6, 10, 18, 34, 66, 130, 258, 514\). Сумма первых 9 камней: \[ 4 + 6 + 10 + 18 + 34 + 66 + 130 + 258 + 514 = 1040 \, \text{кг} \] Для разложения суммы на две равные части необходимо, чтобы она была четной. Это выполняется для всех \(n\), но разбить камни возможно только при \(n = 9\) и \(n = 13\), так как только в этих случаях сумма всех камней делится нацело на 2 и существует комбинация камней, дающих половину суммы.
   Ответ: 1040 кг; \(n = 9\), \(n = 13\).
   
   
3. Какие две последние цифры в десятичной записи числа \(\,9^{2015}\)?
   Решение: Используем свойства модулярной арифметики. Найдем \(9^{2015} \mod 100\): \[ \varphi(100) = 40 \Rightarrow 9^{40} \equiv 1 \mod 100 \] \[ 2015 = 40 \cdot 50 + 15 \Rightarrow 9^{2015} \equiv 9^{15} \mod 100 \] Последовательно вычисляем \(9^k \mod 100\) для \(k = 1\) до \(15\) и находим последние две цифры: \[ 9^{15} \equiv 49 \mod 100 \]
   Ответ: 49.
   
   
4. Две окружности с радиусами 4 см и 9 см проходят через точку \(B\) и касаются прямой \(AC\) в точках \(A\) и \(C\), соответственно. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника \(ABC\).
   Решение: Выберем систему координат с началом в точке \(A\). Центры окружностей \(O_1(0, 4)\) и \(O_2(c, 9)\). Точка \(B\) удовлетворяет уравнениям обеих окружностей. Решая систему уравнений и используя расстояние между центрами, находим, что радиус описанной окружности равен \(R = 6\) см.
   Ответ: 6 см.
   
   
5. Даны два квадратных трёхчлена \(f(x)\) и \(g(x)\), причём \(g(x) = -f(-x)\). График \(y = g(x)\) проходит через вершину параболы, являющейся графиком \(y = f(x)\). Эти два графика пересекают ось \(Ox\) в четырёх точках с абсциссами \(x_1 < x_2 < x_3 < x_4\). Известно, что \(x_4 - x_1 = 200\). Найдите \(x_3 - x_2\).
   Решение: Используя связь между корнями и условие прохождения через вершину, находим, что разность корней: \[ x_3 - x_2 = 200 \cdot (\sqrt{2} - 1) \]
   Ответ: \(200(\sqrt{2} - 1)\).