СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 10 в 11 класс 2015 год вариант 2

1. Из пункта \(A\) в пункт \(B\) одновременно выезжают автобус и мотоцикл. Весь путь автобус двигался с постоянной скоростью. Скорость мотоцикла на первой половине пути была на 25% меньше скорости автобуса. На сколько процентов скорость мотоцикла на второй половине пути была больше, чем на первой половине, если в пункт \(B\) они приехали одновременно?
2. Для каких значений \(x\) справедливо неравенство \[ |x|\bigl(x^4 - 5x^2 - 6\bigr) < 0? \]
3. В прямоугольном треугольнике \(KLM\) проведена биссектриса прямого угла \(LA\). Из точки \(A\) опущены перпендикуляры \(AB\) и \(AC\) на катеты. Известно, что \(KL=6\) и \(LM=10\). Найти площадь четырёхугольника \(ABLC\).
4. Знаменатель положительной дроби меньше квадрата числителя на 1. Если к числителю и знаменателю прибавить 2, то значение дроби будет больше чем \(\tfrac{1}{3}\), если же от числителя и знаменателя отнять 3, дробь останется положительной. Найти эту дробь.
5. Какое из двух чисел \(1011^{77}\) и \(2022^{71}\) больше другого?

Решения задач

1. Из пункта \(A\) в пункт \(B\) одновременно выезжают автобус и мотоцикл. Весь путь автобус двигался с постоянной скоростью. Скорость мотоцикла на первой половине пути была на 25% меньше скорости автобуса. На сколько процентов скорость мотоцикла на второй половине пути была больше, чем на первой половине, если в пункт \(B\) они приехали одновременно?
   Решение: Пусть расстояние \(AB = S\), скорость автобуса \(v\). Время автобуса: \(t = \frac{S}{v}\).
   Скорость мотоцикла на первой половине: \(0.75v\), время: \(\frac{S/2}{0.75v} = \frac{S}{1.5v}\).
   Пусть скорость на второй половине \(kx\), где \(x = 0.75v\). Тогда время: \(\frac{S/2}{kx} = \frac{S}{2kx}\).
   Общее время мотоцикла: \[ \frac{S}{1.5v} + \frac{S}{1.5kv} = \frac{S}{v} \Rightarrow \frac{1}{1.5} + \frac{1}{1.5k} = 1. \] Решая уравнение, получаем \(k = 2\). Значит, скорость на второй половине в 2 раза больше, чем на первой, то есть на 100\% больше.
   Ответ: 100.
   
   
2. Для каких значений \(x\) справедливо неравенство \[ |x|\bigl(x^4 - 5x^2 - 6\bigr) < 0? \]
   Решение: Рассмотрим выражение \(|x|(x^4 -5x^2 -6)\). Знак выражения зависит от \(x^4 -5x^2 -6\), так как \(|x| \geq 0\).
   Решим неравенство \(x^4 -5x^2 -6 < 0\). Замена \(y = x^2\): \[ y^2 -5y -6 < 0 \Rightarrow (y-6)(y+1) < 0 \Rightarrow y \in (-1;6). \] Учитывая \(y = x^2 \geq 0\), получаем \(0 \leq x^2 <6 \Rightarrow |x| < \sqrt{6}\).
   Исходное неравенство выполняется при \(|x| \neq 0\). Итоговый интервал: \(-\sqrt{6} <x < \sqrt{6}\), \(x \neq 0\).
   Ответ: \(x \in (-\sqrt{6}; 0) \cup (0; \sqrt{6})\).
   
   
3. В прямоугольном треугольнике \(KLM\) проведена биссектриса прямого угла \(LA\). Из точки \(A\) опущены перпендикуляры \(AB\) и \(AC\) на катеты. Известно, что \(KL=6\) и \(LM=10\). Найти площадь четырёхугольника \(ABLC\).
   Решение: Координаты точки \(A\) на гипотенузе \(KM\) делят её в соотношении \(KL : LM = 3 : 5\): \[ A\left(\frac{30}{8}, \frac{30}{8}\right) = (3.75, 3.75). \] Перпендикуляры \(AB = AC = 3.75\).
   Четырёхугольник \(ABLC\) — квадрат со стороной \(3.75\). Площадь: \[ S = (3.75)^2 = \frac{225}{16} = 14.0625. \] Ответ: \(\frac{225}{16}\).
   
   
4. Знаменатель положительной дроби меньше квадрата числителя на 1. Если к числителю и знаменателю прибавить 2, то значение дроби будет больше чем \(\tfrac{1}{3}\), если же от числителя и знаменателя отнять 3, дробь останется положительной. Найти эту дробь.
   Решение: Пусть дробь \(\frac{x}{y}\), где \(y = x^2 -1\). Условия: \[ \frac{x+2}{(x^2 -1)+2} > \frac{1}{3} \Rightarrow 3x +6 > x^2 +1 \Rightarrow x^2 -3x -5 0 \Rightarrow (x-3)(x^2 -4) >0 \Rightarrow x \in (3; \sqrt{25}). \] Единственное целое решение \(x=4\), дробь \(\frac{4}{4^2 -1} = \frac{4}{15}\).
   Проверка: \(\frac{4+2}{15+2} = \frac{6}{17} > \frac{1}{3}\), \(\frac{4-3}{15-3} = \frac{1}{12} >0\).
   Ответ: \(\frac{4}{15}\).
   
   
5. Какое из двух чисел \(1011^{77}\) и \(2022^{71}\) больше другого?
   Решение: Представим \(2022 = 2 \cdot1011\). Тогда: \[ 2022^{71} = (2 \cdot1011)^{71} =2^{71} \cdot1011^{71}. \] Сравним с \(1011^{77}\): \[ 1011^{77} =1011^{71} \cdot1011^{6}. \] Очевидно, \(1011^{6} \ll2^{71}\), так как \(2^{10}=1024\), \(2^{70} \approx10^{21}\). Следовательно, \(2022^{71}\) больше.
   Ответ: \(2022^{71}\) больше.