8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 10 в 11 класс 2015 год вариант 1

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 06.2015
Печать
youit.school ©
Физико-математическое отделение. Москва. Июнь 2015 года.
Письменная работа по математике для поступающих в 11 класс
Вариант 1


  1. Из Москвы в Тулу одновременно выезжают легковая машина и поезд, который весь путь двигался с постоянной скоростью. Легковая машина первую половину пути ехала со скоростью на 20% больше, чем скорость поезда. На сколько процентов скорость легковой машины на второй половине пути была меньше, чем скорость поезда, если в Тулу они приехали одновременно?
  2. Для каких значений \(x\) справедливо неравенство \[ |x|\bigl(x^4 - 2x^2 - 3\bigr) \ge 0? \]
  3. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) проведена биссектриса прямого угла \(BL\). Из точки \(L\) опущены перпендикуляры \(LK\) и \(LM\) на катеты. Известно, что \(AB=4\) и \(BC=6\). Найти периметр четырёхугольника \(BKLM\).
  4. Знаменатель положительной дроби меньше квадрата числителя на 1. Если к числителю и знаменателю прибавить 2, то значение дроби будет больше чем \(\tfrac{1}{3}\), если же от числителя и знаменателя отнять 3, дробь останется положительной. Найти эту дробь.
  5. Какое из двух чисел \(1111^{66}\) и \(2222^{59}\) больше другого?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Из Москвы в Тулу одновременно выезжают легковая машина и поезд. Легковая машина первую половину пути ехала со скоростью на 20% больше скорости поезда. Найти, на сколько процентов скорость машины на второй половине была меньше скорости поезда.
    Решение: Пусть расстояние между городами $S$, скорость поезда $V$. Тогда время движения поезда: $t_п = \frac{S}{V}$.
    Скорость машины на первой половине пути: $1,2V$. Время на первую половину: $t_{м1} = \frac{S/2}{1,2V} = \frac{S}{2,4V}$.
    Пусть скорость машины на второй половине пути равна $kV$ ($k$ - коэффициент уменьшения). Время на второй половине: $t_{м2} = \frac{S/2}{kV} = \frac{S}{2kV}$.
    По условию общее время движения машины равно времени поезда: \[ \frac{S}{2,4V} + \frac{S}{2kV} = \frac{S}{V} \] Сокращаем $S$ и $V$: \[ \frac{1}{2,4} + \frac{1}{2k} = 1 \Rightarrow \frac{1}{2k} = 1 - \frac{5}{12} = \frac{7}{12} \Rightarrow k = \frac{12}{14} = \frac{6}{7} \] Следовательно, скорость машины на второй половине составляет $\frac{6}{7}V$ от скорости поезда. Это меньше на: \[ (1 - \frac{6}{7}) \cdot 100% = 14\frac{2}{7}\% \]
    Ответ: На $14\frac{2}{7}\%$.

  2. Для каких значений \(x\) справедливо неравенство: \[ |x|\bigl(x^4 - 2x^2 - 3\bigr) \ge 0? \] Решение: Рассмотрим выражение по частям:
    1. \(|x| \ge 0\) при всех \(x\)
    2. \(x^4 - 2x^2 - 3 \ge 0\) когда \(|x| \ge \sqrt{3}\)
    Пересечение условий:
    • При \(x \neq 0\): \(|x| \ge \sqrt{3}\)
    • При \(x = 0\): неравенство \(\Rightarrow 0 \ge -3\) верно
    Однако исходное выражение имеет множитель \(|x|\), поэтому при \(x = 0\) выражение равно \(0\). В этом случае неравенство обращается в равенство \(0 \ge 0\), что допустимо. Но указанное равенство достигается только при \(x = 0\)
    Правильное объединение решений: \[ x \in (-\infty; -\sqrt{3}] \cup \{0\} \cup [\sqrt{3}; +\infty) \]
    Ответ: \(x \in (-\infty; -\sqrt{3}] \cup \{0\} \cup [\sqrt{3}; +\infty)\).

  3. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) (\(AB=4\), \(BC=6\)) проведена биссектриса прямого угла \(BL\). Найти периметр четырёхугольника \(BKLM\).
    Решение: По теореме Пифагора гипотенуза \(AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}\).
    Свойство биссектрисы прямоугольного угла: делит гипотенузу в отношении катетов. Пусть \(BL\) делит гипотенузу в точке \(L\). Тогда: \[ \frac{AL}{LC} = \frac{AB}{BC} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \] Координатный метод: расположим треугольник в системе координат с \(B(0;0)\), \(A(0;4)\), \(C(6;0)\). Параметризуем точку \(L\): \[ L_x = \frac{2 \cdot 6 + 3 \cdot 0}{2 + 3} = \frac{12}{5}, \quad L_y = \frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 4}{2 + 3} = \frac{12}{5} \] Перпендикуляры \(LK\) и \(LM\) на катеты имеют координаты: \[ K\left(\frac{12}{5}; 0\right), \quad M\left(0; \frac{12}{5}\right) \] Периметр четырёхугольника \(BKLM\): \[ BK + KL + LM + MB = \frac{12}{5} + \frac{12}{5} + \frac{12}{5} + \frac{12}{5} = \frac{48}{5} = 9,6 \]
    Ответ: 9,6.

  4. Найти положительную дробь \(\frac{n}{n^2 - 1}\), удовлетворяющую условиям:
    1. \(\frac{n + 2}{(n^2 - 1) + 2} > \frac{1}{3}\)
    2. \(\frac{n - 3}{(n^2 - 1) - 3} > 0\)
    Решение:
    1. Упростим первое неравенство: \[ \frac{n + 2}{n^2 + 1} > \frac{1}{3} \Rightarrow 3(n + 2) > n^2 + 1 \Rightarrow n^2 - 3n - 5 < 0 \] Корни квадратного уравнения \(n = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 20}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{2}\). Интервал между корнями \(\approx [-2,39; 5,39]\).

    2. Второе неравенство: \[ n - 3 > 0 \quad \text{и} \quad n^2 - 4 > 0 \Rightarrow n > 3 \quad \text{и} \quad n > 2 \] Объединение условий: \(n > 3\).
    Натуральное решение \(n = 4\). Проверяем: \[ \frac{4 + 2}{16 - 1 + 2} = \frac{6}{17} \approx 0,353 > \frac{1}{3} \]
    Ответ: \(\frac{4}{15}\).

  5. Какое число больше: \(1111^{66}\) или \(2222^{59}\)?
    Решение: Преобразуем: \[ 2222 = 2 \times 1111 \Rightarrow 2222^{59} = (2 \times 1111)^{59} = 2^{59} \times 1111^{59} \] Сравниваем: \[ 1111^{66} \quad \text{vs} \quad 2^{59} \times 1111^{59} \Rightarrow 1111^{7} \quad \text{vs} \quad 2^{59} \] Оценим логарифмы: \[ \log_2(1111^7) = 7\log_2(1111) \approx 7 \times 10 = 70 \] \[ 59 2^{59} \] Следовательно: \[ 1111^{66} > 2222^{59} \]
    Ответ: \(1111^{66} > 2222^{59}\).
Материалы школы Юайти