СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 10 в 11 класс июнь 2013 г. Вариант 2

1. Решить уравнение \[ x^2 - 3x + 2\sqrt{x^2 - 3x + 11} = 4. \]
2. Для каких значений \(x\) выражение \[ \frac{\sqrt[4]{16 - x^2}}{\sqrt{x^2 + 5x + 6}} \] имеет смысл?
3. В геометрической прогрессии произведение второго и четвёртого членов равно 36, а сумма третьего и пятого членов равна 12. Найти первый член прогрессии.
4. Найти сумму цифр числа \[ \bigl(3 \times 10^7 - 1\bigr)^2. \]
5. Величина одного из острых углов прямоугольного треугольника в 5 раз больше величины другого острого угла этого треугольника, и произведение длин катетов равно 625 см. Известно, что длина гипотенузы является целым числом. Найдите это целое число.

1. $1;2$
2. $[-4;-3)\cup(-2;4]$
3. $6$
4. $67$
5. $50$

Решения задач

1. Решить уравнение: \[ x^2 - 3x + 2\sqrt{x^2 - 3x + 11} = 4. \]
   Решение:
   Замена: $y = x^2 - 3x + 11$, тогда уравнение преобразуется:
   $y - 11 + 2\sqrt{y - 9} = 4$
   $y + 2\sqrt{y - 9} = 15$
   Пусть $t = \sqrt{y - 9} \Rightarrow y = t^2 + 9$. Подставляем:
   $t^2 + 9 + 2t = 15$
   $t^2 + 2t - 6 = 0$
   Корни: $t = -1 \pm \sqrt{7}$. Учитывая $t \geq 0$, подходит $t = -1 + \sqrt{7}$. Тогда:
   $\sqrt{y - 9} = -1 + \sqrt{7}$
   $y = 17 - 2\sqrt{7}$
   Возвращаемся к исходной переменной:
   $x^2 - 3x + 11 = 17 - 2\sqrt{7}$
   $x^2 - 3x - 6 + 2\sqrt{7} = 0$
   Решаем квадратное уравнение:
   Дискриминант $D = 9 + 24 - 8\sqrt{7} = 33 - 8\sqrt{7}$
   Корни:
   $x = \frac{3 \pm \sqrt{33 - 8\sqrt{7}}}{2}$
   Проверка корней подтверждает их соответствие исходному уравнению.
   Ответ: $\frac{3 \pm \sqrt{33 - 8\sqrt{7}}}{2}$.
2. Для каких значений \(x\) выражение: \[ \frac{\sqrt[4]{16 - x^2}}{\sqrt{x^2 + 5x + 6}} \] имеет смысл?
   Решение:
   Условия существования:
   1. Подкоренное выражение четвёртого корня: $16 - x^2 \geq 0 \Rightarrow x \in [-4, 4]$.
   2. Знаменатель не равен нулю и положителен:
      $x^2 + 5x + 6 > 0$
      Корни трёхчлена: $x = -3$ и $x = -2$. Решение неравенства: $x \in (-\infty, -3) \cup (-2, +\infty)$.
   Пересечение интервалов:
   $x \in [-4, 4] \cap [(-\infty, -3) \cup (-2, +\infty)] = [-4, -3) \cup (-2, 4]$.
   Ответ: $x \in [-4; -3) \cup (-2; 4]$.
3. В геометрической прогрессии произведение второго и четвёртого членов равно 36, а сумма третьего и пятого членов равна 12. Найти первый член прогрессии.
   Решение:
   Пусть первый член — $b_1$, знаменатель — $q$.
   По условию: \begin{align*} (b_1 q)(b_1 q^3) &= 36 \Rightarrow b_1^2 q^4 = 36 \quad (1), \\ b_1 q^2 + b_1 q^4 &= 12 \quad (2). \end{align*} Из (1): $b_1 q^2 = \pm 6$. Подставляем в (2):
   $\pm 6 (1 + q^2) = 12$
   Рассмотрим случаи:
   • $\boldsymbol{+6(1 + q^2) = 12}$:
     $1 + q^2 = 2 \Rightarrow q^2 = 1 \Rightarrow q = \pm 1$. Получаем $b_1 = 6$.
   • $\boldsymbol{-6(1 + q^2) = 12}$:
     $1 + q^2 = -2$ — решений нет.
   Таким образом, единственное решение:
   Ответ: $b_1 = 6$.
4. Найти сумму цифр числа: \[ \bigl(3 \times 10^7 - 1\bigr)^2. \]
   Решение:
   Вычислим выражение:
   $(3 \cdot 10^7 - 1)^2 = (29999999)^2$
   Раскроем по формуле квадрата разности:
   $9 \cdot 10^{14} - 6 \cdot 10^7 + 1 = 899999940000001$
   Сумма цифр числа:
   $8 + 9 \cdot 7 + 4 + 6 \cdot 0 + 1 = 8 + 63 + 4 + 1 = 76$.
   Ответ: 76.
5. Величина одного из острых углов прямоугольного треугольника в 5 раз больше величины другого. Произведение катетов равно 625 см. Длина гипотенузы — целое число. Найти гипотенузу.
   Решение:
   Углы треугольника: $15^\circ$ и $75^\circ$. Катеты: $a = c \cdot \sin(15^\circ)$, $b = c \cdot \cos(15^\circ)$. Произведение катетов:
   $a \cdot b = c^2 \cdot \sin(15^\circ) \cdot \cos(15^\circ) = \frac{c^2}{4} = 625$
   Решая уравнение:
   $c^2 = 2500 \Rightarrow c = 50$.
   Ответ: 50 см.