СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 10 в 11 класс июнь 2013 г. Вариант 1

1. Решите уравнение \[ x^2 - 4x - 3\sqrt{(x^2 - 4x + 20)} = -10. \]
2. Для каких значений \(x\) выражение \[ \frac{\sqrt[4]{16 - x^2}}{\sqrt{x^2 - 5x + 6}} \] имеет смысл?
3. В геометрической прогрессии произведение второго и четвёртого членов равно 25, а сумма третьего и пятого членов равна 15. Найти первый член прогрессии.
4. Найти сумму цифр числа \((2 \times 10^7 - 1)^2\).
5. Величина одного из острых углов прямоугольного треугольника в 5 раз меньше величины другого острого угла этого треугольника, и длина гипотенузы равна 64 см. Известно, что произведение длин катетов является целым числом. Найдите это целое число.

1. Ответ: $-1;5$
2. Ответ: $[-4;2)\cup(3;4)$
3. Ответ: $\displaystyle \frac{5}{2}$
4. Ответ: $64$
5. Ответ: $1024$

Решения задач

1. Решите уравнение \[ x^2 - 4x - 3\sqrt{(x^2 - 4x + 20)} = -10. \]
   Решение: Перенесём все слагаемые в левую часть: \[ x^2 - 4x + 10 = 3\sqrt{x^2 - 4x + 20}. \] Введём замену $t = \sqrt{x^2 - 4x + 20}$. Тогда $t^2 = x^2 - 4x + 20$, откуда: \[ t^2 - 10 = 3t. \] Решаем квадратное уравнение $t^2 - 3t - 10 = 0$: \[ t = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2} \implies t_1 = 5, \quad t_2 = -2. \] Учитывая неотрицательность корня, $t = 5$. Возвращаемся к исходной переменной: \[ \sqrt{x^2 - 4x + 20} = 5 \implies x^2 - 4x + 20 = 25 \implies x^2 - 4x - 5 = 0. \] Корни уравнения: \[ x = \frac{4 \pm 6}{2} \implies x_1 = 5, \quad x_2 = -1. \] Проверка подстановкой подтверждает оба корня.
   Ответ: $-1$; $5$.
2. Для каких значений \(x\) выражение \[ \frac{\sqrt[4]{16 - x^2}}{\sqrt{x^2 - 5x + 6}} \] имеет смысл?
   Решение:
   1. Подкоренное выражение четвертой степени: $16 - x^2 \geq 0 \implies x \in [-4; 4].$
   2. Знаменатель: $x^2 - 5x + 6 > 0 \implies (x-2)(x-3) > 0 \implies x \in (-\infty; 2) \cup (3; +\infty).$
   3. Пересечение условий: $x \in [-4; 4] \cap (-\infty; 2) \cup (3; +\infty) \implies [-4; 2) \cup (3; 4].$
   
   Ответ: $x \in [-4; 2) \cup (3; 4].$
3. В геометрической прогрессии произведение второго и четвёртого членов равно 25, а сумма третьего и пятого членов равна 15. Найти первый член прогрессии.
   Решение: Пусть $b_1$ — первый член, $q$ — знаменатель прогрессии. Тогда: \[ b_2 = b_1 q, \quad b_4 = b_1 q^3 \implies b_2 \cdot b_4 = b_1^2 q^4 = 25. \] \[ b_3 + b_5 = b_1 q^2 (1 + q^2) = 15. \] Пусть $a = b_1 q^2$, тогда: \[ a^2 = 25 \implies a = 5 \quad\text{(т.к. иначе сумма отрицательна)}. \] \[ 5(1 + q^2) = 15 \implies q^2 = 2 \implies q = \pm \sqrt{2} \implies b_1 = \frac{a}{q^2} = \frac{5}{2}. \]
   Ответ: $\frac{5}{2}$.
4. Найти сумму цифр числа \((2 \times 10^7 - 1)^2\).
   Решение: Вычислим число: \[ 2 \times 10^7 - 1 = 19999999 \quad \implies (19999999)^2 = 399999960000001. \] Число записывается как: 39\text{9}\text{9}\text{9}\text{9}\text{9}\text{6}0000001. Сумма цифр: \[ 3 + 6 \times 9 + 6 + 1 = 3 + 54 + 6 + 1 = 64. \]
   Ответ: 64.
5. Величина одного из острых углов прямоугольного треугольника в 5 раз меньше величины другого острого угла этого треугольника, и длина гипотенузы равна 64~см. Известно, что произведение длин катетов является целым числом. Найдите это целое число.
   Решение: Пусть меньший угол $\alpha$, тогда больший $5\alpha$. Сумма углов: \[ \alpha + 5\alpha = 90^\circ \implies \alpha = 15^\circ,\quad 5\alpha = 75^\circ. \] Катеты: \[ a = 64 \cos 15^\circ, \quad b = 64 \sin 15^\circ. \] Произведение катетов: \[ ab = 64^2 \cdot \sin 15^\circ \cos 15^\circ = 4096 \cdot \frac{1}{4} = 1024. \]
   Ответ: 1024.