СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 10 в 11 класс 2017 год вариант 2

1. Петя пошёл в школу, чтобы успеть ровно к первому уроку. Через 5 минут после выхода, он обнаружил, что за ним увязался пёс Бобик. Петя отвёл (с обычной скоростью) Бобика домой и понял, что опаздывает в школу. Поэтому он побежал и опоздал всего на 2 минуты на первый урок. Известно, что Петя бегает в два раза быстрее, чем ходит. Сколько времени у него обычно занимает дорога до школы?
2. Найти все пары натуральных чисел \((m,n)\), если известно, что квадрат числа \(m\), умноженный на 16, больше квадрата числа \(n\) на 55.
3. Сумма первых 100 членов геометрической прогрессии \(S_{100}=50\), сумма первых 200 членов \(S_{200}=70\). Найдите сумму первых 400 членов этой прогрессии.
4. Основания \(BC\) и \(AD\) перпендикулярны боковой стороне \(AB\) трапеции \(ABCD\). К боковой стороне \(CD\) проведён серединный перпендикуляр, пересекающий отрезок \(AB\) в точке \(F\). Известно, что \(AF=BC\) и \(\angle AGD=110^\circ\), где \(G\) — середина отрезка \(FD\). Найти углы трапеции.
5. Найдите сумму квадратов действительных корней уравнения \[ x^4 + 200x^3 + 193x^2 - 200x + 1 = 0. \]

1. 21 мин.
2. \(m=2,\;n=3\) и \(m=7,\;n=27\)
3. 81,2
4. \(100^\circ,\;80^\circ,\;90^\circ,\;90^\circ\)
5. 39614

Решения задач

1. Петя пошёл в школу, чтобы успеть ровно к первому уроку. Через 5 минут после выхода он обнаружил, что за ним увязался пёс Бобик. Петя отвёл Бобика домой с обычной скоростью и побежал обратно, опоздав на 2 минуты. Сколько времени занимает обычная дорога до школы?
   Решение: Обозначим обычное время пути до школы через \( t \) минут с обычной скоростью \( v \). После 5 минут ходьбы Петя потратил ещё 5 минут на возвращение домой и \( \frac{S}{2v} \) минут на бег в школу. Получаем уравнение: \[ 5 + 5 + \frac{t}{2} = t + 2 \quad \Rightarrow \quad t = 16 \]
   Ответ: 16 минут.
2. Найти все пары натуральных чисел \((m,n)\), удовлетворяющих условию \( 16m^2 - n^2 = 55 \).
   Решение: Разложим уравнение как разность квадратов: \[ (4m - n)(4m + n) = 55 \] Рассмотрим возможные пары множителей: \[ \begin{cases} 4m - n = 5 \\ 4m + n = 11 \end{cases} \Rightarrow m = 2, \quad n = 3 \quad (\text{не подходит, 16·4 - 9 \neq 55}) \] \[ \begin{cases} 4m - n = 1 \\ 4m + n = 55 \end{cases} \Rightarrow m = 7, \quad n = 27 \] Проверка: \(16·49 - 729 = 784 - 729 = 55\)
   Ответ: \((7,27)\).
3. Сумма первых 100 членов геометрической прогрессии \( S_{100} = 50 \), сумма первых 200 \( S_{200} = 70 \). Найти \( S_{400} \).
   Решение: Используем формулу суммы геометрической прогрессии: \[ S_{200} = S_{100} + q^{100}·S_{100} \Rightarrow 70 = 50 + 50q^{100} \Rightarrow q^{100} = 0.4 \] \[ S_{400} = S_{200} + q^{200}·S_{200} = 70 + 0.4·70 = 98 \]
   Ответ: 98.
4. Основания \( BC \) и \( AD \) трапеции \( ABCD \) перпендикулярны \( AB \). Серединный перпендикуляр к \( CD \) пересекает \( AB \) в точке \( F \). \( AF = BC \), \( \angle AGD = 110^\circ \), где \( G \) — середина \( FD \). Найти углы трапеции.
   Решение: По построению трапеция прямоугольная (\( \angle A = 90^\circ \)). Из условия равенства \( AF = BC \) и свойств серединного перпендикуляра следует, что: \[ \angle D = 110^\circ, \quad \angle B = 70^\circ, \quad \angle C = 110^\circ \]
   Ответ: \( \angle A = 90^\circ, \angle B = 70^\circ, \angle C = 110^\circ, \angle D = 110^\circ \).
5. Найти сумму квадратов действительных корней уравнения \( x^4 + 200x^3 + 193x^2 - 200x + 1 = 0 \).
   Решение: Сделаем замену \( y = x - \frac{1}{x} \): \[ \left(x^2 + 200x + 1\right)\left(x^2 - \frac{1}{x^2}\right) = 0 \] Для действительных корней \( x_1 + x_2 = -200 \), \( x_1x_2 = 1 \). Сумма квадратов: \[ (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 200^2 - 2 = 40000 - 2 = 39998 \]
   Ответ: 39998.