СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 10 в 11 класс 2017 год вариант 1

1. Коля пошёл в школу, чтобы успеть ровно к первому уроку. Через 6 минут после выхода, он обнаружил, что забыл дома свой смартфон. Коля вернулся (с обычной скоростью) домой, взял смартфон и понял, что опаздывает в школу. Поэтому он побежал и опоздал всего на 5 минут на первый урок. Известно, что Коля бегает в полтора раза быстрее, чем ходит. Сколько времени у него обычно занимает дорога до школы?
2. Найти все пары натуральных чисел \((p,q)\), такие, что квадрат числа \(p\), умноженный на 9, больше квадрата числа \(q\) на 35.
3. Сумма первых 100 членов геометрической прогрессии \(S_{100}=10\), сумма первых 200 членов \(S_{200}=70\). Найдите сумму первых 400 членов этой прогрессии.
4. Основания \(BC\) и \(AD\) перпендикулярны боковой стороне \(AB\) трапеции \(ABCD\). К боковой стороне \(CD\) проведён серединный перпендикуляр, пересекающий в точке \(F\) продолжение отрезка \(AB\) за точку \(A\). Известно, что \(AF = BC\) и \(\angle AGD = 100^\circ\), где \(G\) — середина отрезка \(FD\). Найти углы трапеции.
5. Найдите сумму квадратов действительных корней уравнения \[ x^4 + 100x^3 + 93x^2 - 100x + 1 = 0. \]

1. 16 мин.
2. \(p=2,\;q=1\) и \(p=6,\;q=17\)
3. 2590
4. \(135^\circ,\;45^\circ,\;90^\circ,\;90^\circ\)
5. 9814

Решения задач

1. Коля пошёл в школу, чтобы успеть ровно к первому уроку. Через 6 минут после выхода, он обнаружил, что забыл дома свой смартфон. Коля вернулся домой, взял смартфон и побежал в школу, опоздав на 5 минут. Найдите время обычной дороги до школы.
   Решение: Пусть время обычной дороги — \( t \) минут. Когда Коля вернулся домой, он потратил \( 6 + 6 = 12 \) минут. Затем он бежал со скоростью в 1.5 раза быстрее обычной, затратив \( \frac{t}{1,5} \) минут. Общее время составило \( t + 5 \) минут: \[ 12 + \frac{2t}{3} = t + 5 \implies 7 = \frac{t}{3} \implies t = 21. \] Ответ: 21 минута.
2. Найдите все пары натуральных чисел \((p, q)\), удовлетворяющих уравнению \( 9p^{2} - q^{2} = 35 \).
   Решение: Разложим уравнение на множители: \[ (3p - q)(3p + q) = 35. \] Натуральные делители 35: \(1 \times 35\), \(5 \times 7\). Решаем системы: \[ {\begin{cases} 3p - q = 1 \\ 3p + q = 35 \end{cases}} \implies p = 6,\ q = 17; \quad {\begin{cases} 3p - q = 5 \\ 3p + q = 7 \end{cases}} \implies p = 2,\ q = 1. \] Ответ: \((6, 17)\) и \((2, 1)\).
3. Геометрическая прогрессия имеет \(S_{100} = 10\) и \(S_{200} = 70\). Найдите \(S_{400}\).
   Решение: Пусть знаменатель прогрессии — \(q\). Тогда: \[ S_{200} = S_{100} + q^{100} \cdot S_{100} \implies 70 = 10 + 10q^{100} \implies q^{100} = 6. \] Для \(S_{400}\): \[ S_{400} = S_{200} + q^{200} \cdot S_{200} = 70 + 6^2 \cdot 70 = 70 \cdot 37 = 2590. \] Ответ: 2590.
4. Трапеция \(ABCD\) имеет основания \(BC\) и \(AD\), перпендикулярные боковой стороне \(AB\). Серединный перпендикуляр к \(CD\) пересекает продолжение \(AB\) в точке \(F\) так, что \(AF = BC\). Угол \(AGD = 100^\circ\), \(G\) — середина \(FD\). Найдите углы трапеции.
   Решение: Поскольку \(AF = BC\) и \(FG = GD\), треугольник \(FGD\) равнобедренный. Угол \(AGD = 100^\circ\) соответствует углу при вершине трапеции. Углы при основании \(AD\) равны \(100^\circ\) и \(80^\circ\): \[ \angle A = 80^\circ,\ \angle D = 100^\circ,\ \angle B = 90^\circ,\ \angle C = 90^\circ. \] Ответ: \(80^\circ,\ 100^\circ,\ 90^\circ,\ 90^\circ\).
5. Найдите сумму квадратов действительных корней уравнения \(x^4 + 100x^3 + 93x^2 - 100x + 1 = 0\).
   Решение: Используя теорему Виета, сумма квадратов всех корней: \[ \sum x_i^2 = \left(\sum x_i\right)^2 - 2\sum{x_i x_j} = (-100)^2 - 2 \cdot 93 = 10000 - 186 = 9814. \] Ответ: 9814.