СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 10 в 11 класс 2016 год вариант 2

1. На изготовление 48 деталей первый рабочий затрачивает на 8 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 96 таких же деталей. Известно, что первый рабочий делает за час на 4 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?
2. Коля купил 14 карандашей и 3 ластика за 107 рублей. Цена карандаша отличается от цены ластика не более чем на 6 рублей, причём каждый из предметов стоит целое число рублей. Сколько суммарно стоят 1 ластик и 1 карандаш?
3. Парабола \[ y = x^2 + b x + 6 \] пересекает прямую \[ y = a - 2x \] в точках с абсциссами 1 и 2. Найдите \(a\) и \(b\).
4. Дана равнобокая трапеция \(KLMN\) с основаниями \(KN = 12\) и \(LM = 8\). Известно, что прямые, содержащие боковые стороны трапеции, пересекаются под углом \(60^\circ\). Найдите площадь трапеции.
5. Про числа \(p\) и \(q\) известно, что \[ 5 \le p q < 7 \quad\text{и}\quad 9 < q \le 23. \] Найдите все \(p\), для которых это возможно.

Решения задач

1. На изготовление 48 деталей первый рабочий затрачивает на 8 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 96 таких же деталей. Известно, что первый рабочий делает за час на 4 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?
   Решение: Пусть второй рабочий делает $x$ деталей в час. Тогда первый делает $x + 4$ деталей в час. Время изготовления:
   $\frac{96}{x} - \frac{48}{x + 4} = 8$
   Умножим обе части на $x(x + 4)$:
   $96(x + 4) - 48x = 8x(x + 4)$
   $96x + 384 - 48x = 8x^2 + 32x$
   $48x + 384 = 8x^2 + 32x$
   $8x^2 - 16x - 384 = 0$
   $x^2 - 2x - 48 = 0$
   $D = 4 + 192 = 196$
   $x = \frac{2 \pm 14}{2} \Rightarrow x = 8$ (отрицательный корень не подходит)
   Ответ: 8.
2. Коля купил 14 карандашей и 3 ластика за 107 рублей. Цена карандаша отличается от цены ластика не более чем на 6 рублей, причём каждый из предметов стоит целое число рублей. Сколько суммарно стоят 1 ластик и 1 карандаш?
   Решение: Пусть карандаш стоит $k$ руб., ластик — $l$ руб. Тогда:
   $14k + 3l = 107$ и $|k - l| \leq 6$
   Перебираем возможные целые $l$:
   При $l = 5$: $14k = 107 - 15 = 92 \Rightarrow k = 6,57$ (не целое)
   При $l = 5$: $14k = 107 - 15 = 92$ — не делится на 14
   При $l = 7$: $14k = 107 - 21 = 86 \Rightarrow k \approx 6,14$ (не целое)
   При $l = 5$: $14k = 107 - 15 = 92$ — ошибка в предыдущих вычислениях. Верный расчет:
   $14k + 3l = 107$. При $l = 5$: $14k = 107 - 15 = 92 \Rightarrow k = 6,57$ (не подходит)
   При $l = 7$: $14k = 107 - 21 = 86 \Rightarrow k = 6,14$ (не подходит)
   При $l = 5$: $14k = 92$ → $k$ не целое
   При $l = 5$: Возможно, ошибка в подборе. Правильный ответ:
   $k = 7$, $l = 5$: $14 \cdot 7 + 3 \cdot 5 = 98 + 15 = 113$ (не подходит)
   Верное решение: $k = 7$, $l = 5$: $14 \cdot 7 + 3 \cdot 5 = 98 + 15 = 113$ — неверно. Правильный подбор:
   $k = 7$, $l = 5$: $14 \cdot 7 + 3 \cdot 5 = 98 + 15 = 113$ (не равно 107)
   Найдем верные значения: $14k + 3l = 107$, $|k - l| \leq 6$
   При $l = 5$: $14k = 107 - 15 = 92$ → $k = 6,57$ (не целое)
   При $l = 7$: $14k = 107 - 21 = 86$ → $k = 6,14$ (не целое)
   При $l = 9$: $14k = 107 - 27 = 80$ → $k = 5,71$ (не целое)
   При $l = 3$: $14k = 107 - 9 = 98$ → $k = 7$ (подходит)
   Проверка: $14 \cdot 7 + 3 \cdot 3 = 98 + 9 = 107$, $|7 - 3| = 4 \leq 6$
   Сумма: $7 + 3 = 10$ рублей
   Ответ: 10.
3. Парабола \[ y = x^2 + b x + 6 \] пересекает прямую \[ y = a - 2x \] в точках с абсциссами 1 и 2. Найдите \(a\) и \(b\).
   Решение: Подставим точки пересечения в уравнения:
   Для \(x = 1\): \(1 + b + 6 = a - 2 \Rightarrow b + 7 = a - 2\)
   Для \(x = 2\): \(4 + 2b + 6 = a - 4 \Rightarrow 2b + 10 = a - 4\)
   Составим систему: \[ \begin{cases} a = b + 9 \\ 2b + 10 = (b + 9) - 4 \end{cases} \]
   Решаем второе уравнение:
   \(2b + 10 = b + 5 \Rightarrow b = -5\)
   Тогда \(a = -5 + 9 = 4\)
   Ответ: \(a = 4\), \(b = -5\).
4. Дана равнобокая трапеция \(KLMN\) с основаниями \(KN = 12\) и \(LM = 8\). Известно, что прямые, содержащие боковые стороны трапеции, пересекаются под углом \(60^\circ\). Найдите площадь трапеции.
   Решение: Продолжим боковые стороны до пересечения в точке \(O\). Треугольник \(OKN\) — равносторонний, так как угол при вершине \(60^\circ\) и \(OK = ON\). Высота трапеции равна высоте треугольника \(OKN\):
   \(h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot OK\)
   Разность оснований: \(12 - 8 = 4\), половина разности: \(2\)
   Из подобия треугольников \(OKN\) и \(OLM\):
   \(\frac{OK}{OL} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \Rightarrow OK = 3x\), \(OL = 2x\)
   Высота трапеции: \(h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 3x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2x = \frac{\sqrt{3}}{2}x\)
   Из геометрии: \(3x - 2x = 2 \Rightarrow x = 2\)
   Тогда высота: \(h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2 = \sqrt{3}\)
   Площадь трапеции: \(S = \frac{12 + 8}{2} \cdot \sqrt{3} = 10\sqrt{3}\)
   Ответ: \(10\sqrt{3}\).
5. Про числа \(p\) и \(q\) известно, что \[ 5 \le p q < 7 \quad\text{и}\quad 9 < q \le 23. \] Найдите все \(p\), для которых это возможно.
   Решение: Выразим \(p\):
   \(\frac{5}{q} \le p < \frac{7}{q}\)
   Так как \(q > 9\), то \(\frac{5}{q} < 0,56\) и \(\frac{7}{q} < 0,78\). Поскольку \(p\) должно быть целым, единственное возможное значение \(p = 1\).
   Проверим для \(p = 1\):
   \(5 \le q 9\) — противоречие. Значит, таких \(p\) не существует.
   Ответ: Нет таких \(p\).