СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 10 в 11 класс 2016 год вариант 1

1. На изготовление 63 деталей первый рабочий затрачивает на 2 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 72 таких же деталей. Известно, что первый рабочий делает за час на одну деталь больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?
2. Катя купила 16 тетрадей и 5 ручек за 143 рубля. Цена тетради отличается от цены ручки не более чем на 7 рублей, причём каждый из предметов стоит целое число рублей. Сколько суммарно стоят 1 тетрадь и 1 ручка?
3. Парабола \[ y = x^2 + b x + 8 \] пересекает прямую \[ y = 3x + a \] в точках с абсциссами 1 и 3. Найдите \(a\) и \(b\).
4. Дана равнобокая трапеция \(ABCD\) с основаниями \(AD = 10\) и \(BC = 6\). Известно, что прямые, содержащие боковые стороны трапеции, пересекаются под углом \(60^\circ\). Найдите площадь трапеции.
5. Про числа \(b\) и \(c\) известно, что \[ 3 \le bc < 5 \quad\text{и}\quad 7 < c \le 19. \] Найдите все \(b\), для которых это возможно.

Решения задач

1. На изготовление 63 деталей первый рабочий затрачивает на 2 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 72 таких же деталей. Известно, что первый рабочий делает за час на одну деталь больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?
   Решение: Пусть второй рабочий делает \( x \) деталей в час, тогда первый делает \( x + 1 \) деталей. Время работы первого: \( \frac{63}{x + 1} \), второго: \( \frac{72}{x} \). Разница времени составляет 2 часа: \[ \frac{72}{x} - \frac{63}{x + 1} = 2 \] Умножаем на \( x(x + 1) \): \[ 72(x + 1) - 63x = 2x(x + 1) \quad \Rightarrow \quad 2x^2 - 7x - 72 = 0 \] Дискриминант: \( D = 625 \), корни \( x = \frac{7 \pm 25}{4} \). Положительный корень \( x = 8 \).
   Проверка: \( \frac{72}{8} = 9 \) часов, \( \frac{63}{9} = 7 \) часов. Разница: \( 9 - 7 = 2 \).
   Ответ: 8.
2. Катя купила 16 тетрадей и 5 ручек за 143 рубля. Цена тетради отличается от цены ручки не более чем на 7 рублей, причём каждый из предметов стоит целое число рублей. Сколько суммарно стоят 1 тетрадь и 1 ручка?
   Решение: Пусть тетрадь стоит \( t \) руб., ручка — \( r \) руб. Уравнение: \[ 16t + 5r = 143 \] Условие: \( |t - r| \leq 7 \). Выразим \( r \): \[ r = \frac{143 - 16t}{5} \] Для целочисленности \( 143 - 16t \) должно делиться на 5. Проверяя \( t \equiv 3 \mod 5 \), находим \( t = 8 \), тогда \( r = 3 \). Проверка: \( |8 - 3| = 5 \leq 7 \).
   Ответ: \( 8 + 3 = 11 \).
3. Парабола \( y = x^2 + bx + 8 \) пересекает прямую \( y = 3x + a \) в точках с абсциссами 1 и 3. Найдите \( a \) и \( b \).
   Решение: Подставляем \( x = 1 \) и \( x = 3 \) в уравнение пересечения: \[ \begin{cases} 1 + b + 8 = 3 \cdot 1 + a \\ 9 + 3b + 8 = 3 \cdot 3 + a \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} a = b + 6 \\ a = 3b + 8 \end{cases} \] Приравниваем: \( b + 6 = 3b + 8 \quad \Rightarrow \quad b = -1 \), тогда \( a = 5 \).
   Проверка: Подстановкой \( x = 1 \) и \( x = 3 \) в уравнения подтверждается равенство \( y \).
   Ответ: \( a = 5 \), \( b = -1 \).
4. Дана равнобокая трапеция \( ABCD \) с основаниями \( AD = 10 \) и \( BC = 6 \). Известно, что прямые, содержащие боковые стороны трапеции, пересекаются под углом \( 60^\circ \). Найдите площадь трапеции.
   Решение: Продлим боковые стороны до пересечения в точке \( E \). Треугольники \( EAD \) и \( EBC \) подобны с коэффициентом \( \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \). Высота трапеции равна разности высот треугольников: \[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 10 - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 6 = 2\sqrt{3} \] Площадь трапеции: \[ S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h = \frac{10 + 6}{2} \cdot 2\sqrt{3} = 16\sqrt{3} \] Ответ: \( 16\sqrt{3} \).
5. Про числа \( b \) и \( c \) известно, что \[ 3 \le bc < 5 \quad \text{и} \quad 7 < c \le 19. \] Найдите все \( b \), для которых это возможно.
   Решение: Из неравенств: \[ \frac{3}{c} \le b < \frac{5}{c} \] Учитывая \( 7 < c \le 19 \), минимальное значение \( b \): \[ \frac{3}{19} \approx 0.1579 \] Максимальное значение \( b \): \[ \frac{5}{8} = 0.625 \] Объединение интервалов для всех \( c \) даёт \( b \in \left[\frac{3}{19}; \frac{5}{8}\right) \).
   Ответ: \( \frac{3}{19} \le b < \frac{5}{8} \).