СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 10 в 11 класс 2012 год вариант 2

Московский экзамен. Апрель 2012 года.
Физико-математическое отделение. Экзамен для поступающих в 11 класс.
Продолжительность 120 минут.
Вариант 2

1. Решить уравнение \[ 3\biggl(\frac{1+z}{1-z}\biggr)^{\frac14} + \biggl(\frac{1-z}{1+z}\biggr)^{\frac14} - 2\sqrt{3} = 0. \]
   
   
2. За лето Аня нашла \(n\) грибов. Из них 16% — сыроежек, 22% — рыжиков, а остальные — мухоморы. Сколько рыжиков нашла Аня, если известно, что \(n\) является трёхзначным числом, сумма цифр которого равна 13?
   
   
3. При каких \(b\) прямая \[ 1 - b x + 2(b+12)y = 0 \] имеет ровно одну общую точку с параболой \(y = x^2\)?
   
   
4. Параллелограмм \(ABCD\) вписан в треугольник \(KLM\) так, что точка \(A\) расположена на стороне \(KM\), точка \(B\) — на стороне \(KL\), а сторона \(DC\) лежит на стороне \(LM\). Известно, что сторона \(AB = 8\), а диагонали \(AC\) и \(DB\) параллельны сторонам \(KL\) и \(KM\) соответственно. Найдите:
   1. длину стороны \(LM\);
   2. площадь параллелограмма \(ABCD\), если известно, что площадь треугольника \(KLM\) равна 180.
   
   
   
5. Даны натуральные числа \(x\) и \(y\). Известно, что, если мы сложим их произведение, частное \(x/y\), разность \((x-y)\) и сумму, то получим 300. Найдите числа \(x\) и \(y\).

Ответы

1. \(-0.8\).
2. \(850\).
3. \(-12; \;4 + 4\sqrt{7};\;4 - 4\sqrt{7}.\)
4. \(LM = 24;\; S = 80.\)
5. \(x=27,\,y=9;\;x=48,\,y=4;\;x=75,\,y=1.\)

Решения задач

1. Решить уравнение \[ 3\biggl(\frac{1+z}{1-z}\biggr)^{\frac14} + \biggl(\frac{1-z}{1+z}\biggr)^{\frac14} - 2\sqrt{3} = 0. \]
   Решение: Введем замену $t = \left(\frac{1+z}{1-z}\right)^{1/4}$, тогда $\frac{1}{t} = \left(\frac{1-z}{1+z}\right)^{1/4}$. Уравнение примет вид: \[ 3t + \frac{1}{t} - 2\sqrt{3} = 0. \] Умножая на $t$, получим квадратное уравнение: \[ 3t^2 - 2\sqrt{3}t + 1 = 0. \] Дискриминант: \[ D = (2\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 0. \] Корень: \[ t = \frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}. \] Возвращаясь к исходной переменной: \[ \left(\frac{1+z}{1-z}\right)^{1/4} = \frac{\sqrt{3}}{3} \implies \frac{1+z}{1-z} = \frac{1}{9}. \] Решая пропорцию: \[ 9(1+z) = 1 - z \implies 10z = -8 \implies z = -\frac{4}{5}. \] Ответ: $-\frac{4}{5}$.
   
   
2. За лето Аня нашла \(n\) грибов. Из них 16% — сыроежек, 22% — рыжиков, а остальные — мухоморы. Сколько рыжиков нашла Аня, если известно, что \(n\) является трёхзначным числом, сумма цифр которого равна 13?
   Решение: Число \(n\) должно делиться на 50, так как 22% от \(n\) — целое число (\(\text{т.к. }22% = \frac{11}{50}n\)). Среди трёхзначных чисел, кратных 50, сумма цифр которых равна 13, подходит только \(n = 850\): \[ 8 + 5 + 0 = 13. \] Тогда количество рыжиков: \[ 22% \cdot 850 = 0,22 \cdot 850 = 187. \] Проверка: сыроежки — \(16% \cdot 850 = 136\), мухоморы — \(850 - 136 - 187 = 527\) (целые числа).
   Ответ: 187.
   
   
3. При каких \(b\) прямая \[ 1 - b x + 2(b+12)y = 0 \] имеет ровно одну общую точку с параболой \(y = x^2\)?
   Решение: Подставляем \(y = x^2\) в уравнение прямой: \[ 2(b + 12)x^2 - b x + 1 = 0. \] Условие единственного решения: \[ D = b^2 - 8(b + 12) = 0 \implies b^2 - 8b - 96 = 0. \] Корни: \[ b = \frac{8 \pm \sqrt{448}}{2} = 4(1 \pm \sqrt{7}). \] Также проверяем случай \(b = -12\), при котором уравнение становится линейным: \[ 12x + 1 = 0 \implies \text{один корень}. \] Ответ: \(b = -12, \; 4(1 \pm \sqrt{7})\).
   
   
4. 1. Параллелограмм \(ABCD\) вписан в треугольник \(KLM\) так, что сторона \(AB = 8\), диагонали \(AC\) и \(DB\) параллельны сторонам \(KL\) и \(KM\). Длину \(LM\) найдем, используя подобие треугольников: \[ \frac{AB}{LM} = \frac{1}{3} \implies LM = 3 \cdot AB = 24. \] Ответ: 24.
      
      
   2. Площадь треугольника \(KLM\) равна 180. Соотношение площадей: \[ \frac{S_{ABCD}}{S_{KLM}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{9} \implies S_{ABCD} = 180 \cdot \frac{2}{9} = 40. \] Ответ: 40.
   
   
   
5. Даны натуральные числа \(x\) и \(y\). Уравнение: \[ xy + \frac{x}{y} + (x - y) + (x + y) = 300. \] Упрощаем: \[ xy + \frac{x}{y} + 2x = 300. \] Умножаем на \(y\): \[ x(y + 1)^2 = 300y. \] Перебирая делители, получаем: \[ (y, x) = (4, 48), \; (9, 27). \] Проверка для \(y = 4\), \(x = 48\): \[ 48 \cdot 4 + \frac{48}{4} + (48 - 4) + (48 + 4) = 192 + 12 + 44 + 52 = 300. \] Проверка для \(y = 9\), \(x = 27\): \[ 27 \cdot 9 + \frac{27}{9} + (27 - 9) + (27 + 9) = 243 + 3 + 18 + 36 = 300. \] Ответ: \( (48; 4) \) или \( (27; 9) \).