СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 10 в 11 класс 2012 год вариант 1

1. Решить уравнение \[ \frac12\!\left(\frac{1 - x}{1 + x}\right)^{\!\tfrac14} +\!\left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)^{\!\tfrac14} = \sqrt{2}. \]
2. За лето Саша поймал \(n\) рыб. Из них 8 процентов осетров, 14 процентов белуг, а остальные — акулы. Сколько рыб поймал Саша, если известно, что \(n\) является трёхзначным числом, сумма цифр которого равна 14?
3. При каких \(a\) прямая \[ a x + (2a + 12)y + 1 = 0 \] имеет ровно одну общую точку с параболой \(y = x^2\)?
4. Параллелограмм \(DEFG\) вписан в треугольник \(ABC\) так, что точка \(D\) расположена на стороне \(AC\), точка \(E\) — на стороне \(AB\), а сторона \(GF\) лежит на стороне \(BC\). Известно, что сторона \(DE = 5\), а диагонали \(DF\) и \(GE\) параллельны сторонам \(AB\) и \(AC\) соответственно. Найдите
   1. длину стороны \(BC\);
   2. площадь параллелограмма \(DEFG\), если известно, что площадь треугольника \(ABC\) равна 120.
5. Найти два натуральных числа \(a\) и \(b\), такие что, сложив их сумму, разность \((a - b)\), произведение и частное \(\frac{a}{b}\), получим 450.

1. \(-0.6\)
2. \(950\)
3. \(-6,\; -4,\; 12\)
4. \(BC = 15;\; S = 53\tfrac{1}{3}\)
5. \(a = 28,\; b = 14;\quad a = 72,\; b = 4;\quad a = 100,\; b = 2\)

Решения задач

1. Решить уравнение \[\frac12\!\left(\frac{1 - x}{1 + x}\right)^{\!\tfrac14} +\!\left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)^{\!\tfrac14} = \sqrt{2}.\]
   Решение: Введем замену $t = \left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{\frac{1}{4}} \implies t^4 = \frac{1+x}{1-x}$.
   Перепишем исходное уравнение: $\frac{1}{2}t^{-1} + t = \sqrt{2}$
   Умножаем обе части на $2t$: $1 + 2t^2 = 2\sqrt{2}t$
   Переносим все члены влево: $2t^2 - 2\sqrt{2}t + 1 = 0$
   Дискриминант уравнения: $D = 8 - 8 = 0 \implies t = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
   Возвращаемся к исходной переменной: $\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{\frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
   Возводим в 4 степень: $\frac{1+x}{1-x} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^4 = \frac{1}{4}$
   Решаем полученное уравнение: $4(1+x) = 1 - x \implies 4 + 4x = 1 - x \implies 5x = -3 \implies x = -\frac{3}{5}$
   Ответ: $-\frac{3}{5}$.
   
   
2. Сколько рыб поймал Саша, если $n$ трёхзначное число, сумма цифр 14?
   Решение: Процент акул $100\% - 8\% - 14\% = 78\%$.
   Все проценты должны быть целыми числами при делении на $n$:
   $8\%n = \frac{8n}{100} \in \mathbb{Z} \implies n$ делится на 25
   Аналогично, $\frac{14n}{100} \in \mathbb{Z} \implies n$ должно делиться на $50$ (т.к. 14 и 100 имеют НОД 2).
   Из трёхзначных чисел с суммой цифр 14 подходят: 950 (9+5+0=14) 860 (8+6+0=14) 653 (6+5+3=14) — не делится на 50 Среди них делится на 50 только 950.
   Проверим: $8% \cdot 950 = 76$ рыб (целое) $14% \cdot 950 = 133$ рыб (целое) Ответ: 950.
   
   
3. Найти $a$ для единственной общей точки прямой и параболы: \[ a x + (2a + 12)y + 1 = 0 \quad \text{и} \quad y = x^2 \] Решение: Подставляем $y = x^2$ в уравнение прямой: $ax + (2a + 12)x^2 + 1 = 0$
   Составляем уравнение: $(2a + 12)x^2 + a x + 1 = 0$
   Для единственного решения дискриминант должен быть нулём: $D = a^2 - 4(2a + 12) \cdot 1 = 0$
   Раскрываем: $a^2 - 8a - 48 = 0$
   Решаем квадратное уравнение: $D = 64 + 192 = 256$ $a = \frac{8 \pm \sqrt{256}}{2} = \frac{8 \pm 16}{2}$
   Получаем два решения: $a = 12$ и $a = -4$
   Проверка на вырожденность прямой при $2a + 12 = 0$: $a = -6$ При $a = -6$ уравнение прямой становится $-6x = -1 \implies x = \frac16$, что дает единственную точку пересечения ($\frac16$, $\frac{1}{36}$).
   Ответ: $a = -6$, $a = 12$, $a = -4$. Нет, при $a=-6$ прямая вертикальна и пересекает параболу только в одной точке, поэтому ответ $a \in \{-6, -4, 12\}$. Исправление: Проверяем $a=-6$, уравнение преобразуется к x=1/6, что дает одну точку — включаем в ответ.
   
   Исправленное решение: При $2a + 12 = 0 \implies a = -6$: Уравнение принимает вид $-6x + 1 = 0 \implies x = \frac{1}{6}$ Это дает единственную точку $(\frac{1}{6}, \frac{1}{36})$
   Ответ: $a \in \{-6, 12, -4\}$. Но допустимые значения определяются дискриминантом и проверкой. Верный ответ: $\boxed{-6}$, $\boxed{-4}$, $\boxed{12}$.
   
   В итоге после пересчета: коэффициент при x² становится 2*(-4) +12=4≠0; a=12: 24+12=36≠0. Все три значения удовлетворяют условию единственной точки пересечения.
   
   Ответ: $a = -6, -4, 12$.
   
   
4. Параллелограмм $DEFG$ в треугольнике $ABC$:
   1. Найти $BC$: Решение: Рассмотрим треугольник $AEK$ подобный треугольнику $ABC$. Поскольку диагонали параллельны сторонам, коэффициент подобия $k = \frac{DE}{AB} = \frac{5}{AB}$. Из соотношений подобия и свойств параллелограмма получаем, что $BC = 2 \times DE = 10$.
      Ответ: 10.
      
      
   2. Площадь параллелограмма $DEFG$ при $S_{ABC} = 120$: Решение: Коэффициент подобия между треугольниками $k = \frac{1}{2}$, тогда площади относятся как $k^2$. $S_{DEFG} = S_{ABC} \times k^2 = 120 \times \frac{1}{4} = 30$.
      Ответ: 30.
   
   
   
5. Найти натуральные $a$ и $b$, удовлетворяющие: $a + b + (a - b) + ab + \frac{a}{b} = 450$ Решение: Упрощаем уравнение: $2a + ab + \frac{a}{b} = 450$
   Выразим $a = kb$, где $k \in \mathbb{N}$. Подставляем: $2kb + kb^2 + k = 450 \implies k(b^2 + 2b + 1) = 450$
   Факторизуем: $k(b + 1)^2 = 450$
   Находим делители 450, являющиеся квадратами: Возможные $(b + 1)^2 = 1, 9, 25, 225$ соответствуют $b = 0, 2, 4, 14$ (натуральные, значит $b ≥ 1$).
   Проверяем: - При $(b + 1)^2 = 9$, $b = 2$: $k = 50$, тогда $a = 50 \cdot 2 = 100$ Проверка: $100 + 2 + 98 + 200 + 50 = 450$ (выполнено) - Другие варианты ($25 → k=18$, $a=18*4=72$ проверим: 72 +4 +68 +288 +18=450). Также верно. Но возможно, требуется единственное решение.
   
   Получаем два решения: $(a, b) = (100, 2)$ и $(72, 4)$
   Проверка: Для $(72, 4)$: $72 + 4 + 68 + 288 + 18 = 450$
   Ответ: $\boxed{100}$ и $\boxed{2}$; $\boxed{72}$ и $\boxed{4}$.
   
   Уточнение: Так как $a$ и $b$ натуральные, в ответ идут обе пары.