СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 10 в 11 класс 2013 год вариант 2

1. Через сколько минут после того, как часы показывали ровно 9 часов 00 минут, минутная стрелка догонит часовую стрелку?
2. Найти
   1. какую-нибудь,
   2. все пары натуральных чисел $m$ и $n$ таких, что \[ m^{m} + (mn)^{n} = 1984. \]
3. Найти знаменатель геометрической прогрессии, если известно, что сумма первых 200 её членов равна 216, а сумма первых 100 членов с чётными номерами равна 162.
4. При каких значениях $a$ среди решений неравенства \[ x^{2} + 2x + a < 0 \] содержится ровно три целочисленных решения?
5. Окружности радиусов $R_1=4$ и $R_2=9$ расположены по одну сторону от прямой $\ell$ и касаются её. Также дано, что эти окружности касаются друг друга внешним образом. Построена третья окружность, которая касается прямой $\ell$ и касается внешним образом первых двух окружностей. Найти её радиус.

1. $\displaystyle \frac{240}{11} = 21\frac{9}{11}\text{ мин.}$
2. Единственное решение: $a = 2,\; b = 5$.
3. $2$.
4. $-3 < b \le 0$.
5. $\displaystyle \frac{144}{49},\; 144$.

Решения задач

1. Через сколько минут после 16:00 минутная стрелка догонит часовую?
   Решение: Когда часы показывают 16:00, часовая стрелка на отметке 4 часа, минутная — на 12. Скорость минутной стрелки — 360° за 60 минут (6° в минуту), часовой — 30° в час (0,5° в минуту). Разница скоростей:
   $6 - 0,5 = 5,5$° в минуту.
   Начальная разница между стрелками:
   $4 \cdot 30° = 120°$.
   Время встречи:
   $\frac{120°}{5,5°/\text{мин}} = \frac{240}{11} \approx 21\frac{9}{11}$ мин ≈ 21 мин 49,1 сек.
   Ответ: через $\frac{240}{11}$ мин ≈ 21,82 мин.
2. Найти пары натуральных чисел \(a\) и \(b\), удовлетворяющих \((ab)^a + b^b = 3225\):
   1. Пример: Подбором проверяем возможные комбинации. Для \(a = 2\):
      $(2b)^2 + b^b = 4b^2 + b^b$. При \(b = 5\):
      $4 \cdot 25 + 3125 = 100 + 3125 = 3225$.
      Ответ: \((2,5)\).
   2. Все пары: Анализ показывает, что других натуральных решений для данного уравнения нет. Проверка для \(a > 2\) приводит к числам, превышающим 3225.
      Ответ: единственное решение \((2,5)\).
3. Найти знаменатель геометрической прогрессии:
   Решение: Пусть сумма первых 100 членов:
   $S_{100} = \frac{b_1(q^{100}-1)}{q-1} = 126$.
   Сумма чётных членов:
   $S_{50} = \frac{b_1 q(q^{100}-1)}{q^2-1} = 84$.
   Поделим второе уравнение на первое:
   $\frac{q}{q+1} = \frac{84}{126} = \frac{2}{3} \Rightarrow 3q = 2q + 2 \Rightarrow q = 2$.
   Ответ: 2.
4. При каких \(b\) неравенство \(x^2 - 4x - b < 0\) содержит ровно три целых решения?
   Решение: Корни уравнения \(x = 2 \pm \sqrt{4 + b}\). Неравенство выполняется между корнями. Требуется количество целых чисел в интервале \((2 - \sqrt{4 + b}, 2 + \sqrt{4 + b})\) равно 3. Рассмотрим целые числа 0, 1, 2. Тогда:
   Правый корень должен быть меньше 3, но больше 2:
   \(2 < \sqrt{4 + b} < 3 \Rightarrow 0 < b < 5\).
   Проверим целые решения при \(b \in (-5, -4]\).
   Ответ: \(b \in (-5, -4]\).
5. Построение третьей окружности, касающейся двух данных окружностей и прямой \(l\):
   Решение: Используем формулу Декарта для трёх взаимно касающихся окружностей радиуcов \(R_1 = 9\), \(R_2 = 16\) и \(R_3\):
   $\frac{1}{\sqrt{R_3}} = \frac{1}{\sqrt{R_1}} + \frac{1}{\sqrt{R_2}}$.
   Вычисление:
   $\frac{1}{\sqrt{R_3}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12} \Rightarrow R_3 = \left(\frac{12}{7}\right)^2 = \frac{144}{49} \approx 2,94$.
   Ответ: радиус третьей окружности \(\frac{144}{49}\).