СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 10 в 11 класс 2013 год вариант 1

1. Через сколько минут после того, как часы показывали ровно 9 часов 00 минут, минутная стрелка догонит часовую стрелку?
2. Найти
   1. какую-нибудь,
   2. все
   пары натуральных чисел \(m\) и \(n\) таких, что \[ m^{m} + (mn)^{n} = 1984. \]
3. Найти знаменатель геометрической прогрессии, если известно, что сумма первых 200 её членов равна 216, а сумма первых 100 членов с чётными номерами равна 162.
4. При каких значениях \(a\) среди решений неравенства \[ x^2 + 2x + a < 0 \] содержится ровно три целочисленных решения?
5. Окружности радиусов \(R_1 = 4\) и \(R_2 = 9\) расположены по одну сторону от прямой \(l\) и касаются её. Также дано, что эти окружности касаются друг друга внешним образом. Построена третья окружность, которая касается прямой \(l\) и касается внешним образом первых двух окружностей. Найти её радиус.

1. \( \displaystyle \frac{540}{11} = 49\frac{1}{11}\) минут.
2. Единственное решение: \(m = 4,\; n = 3.\)
3. \(3.\)
4. \( -3 < a < 0.\)
5. \( \displaystyle \frac{36}{25},\;36.\)

Решения задач

1. Через сколько минут после того, как часы показывали ровно 9 часов 00 минут, минутная стрелка догонит часовую стрелку?
   Решение: Скорость минутной стрелки 6° в минуту, часовой — 0,5° в минуту. В начальный момент угловая разница между стрелками составляет $9 \cdot 30^{\circ} = 270^{\circ}$. Скорость сближения стрелок:
   $6 - 0,5 = 5,5^{\circ}/\text{мин}$. Время до встречи:
   $\frac{270^\circ}{5,5^\circ/\text{мин}} = \frac{540}{11} \approx 49,09$ минут.
   Ответ: Через $\frac{540}{11}$ минут ≈ 49,09 минут.
2. Найти пары натуральных чисел \(m\) и \(n\) таких, что \(m^{m} + (mn)^{n} = 1984\).
   Решение: Рассмотрим возможные значения \(m\):
   1. \(m = 1\): \(1 + n^n = 1984\) → \(n^n = 1983\) — нет натуральных решений.
   2. \(m = 2\): \(4 + (2n)^n = 1984 → (2n)^n = 1980\). Проверка значений \(n\) показывает, что решений нет.
   3. \(m = 4\): \(4^4 + (4n)^n = 256 + (4n)^n = 1984 → (4n)^n = 1728\).
      При \(n = 3\): \((4 \cdot 3)^3 = 12^3 = 1728\) — решение \(m = 4, n = 3\).
   4. \(m \geq 5\): значение \(m^m\) превышает 1984.
   Ответ:
   1. \((4, 3)\);
   2. единственная пара: \(m = 4, \ n = 3\).
3. Найти знаменатель геометрической прогрессии, если сумма первых 200 членов равна 216, а сумма первых 100 членов с чётными номерами равна 162.
   Решение: Пусть \(b\) — первый член, \(q\) — знаменатель:
   \(S_{200} = b \cdot \frac{1 - q^{200}}{1 - q} = 216\).
   Сумма чётных членов образует прогрессию с первым членом \(bq\) и знаменателем \(q^2\):
   \(S_{\text{чёт}} = bq \cdot \frac{1 - q^{200}}{1 - q^2} = 162\).
   Разделим второе уравнение на первое:
   \(\frac{q(1 - q^{200})}{(1 - q^2)(1 - q^{200})} \cdot (1 - q) = \frac{q}{1 + q} = \frac{162}{216} = \frac{3}{4}\).
   Решение уравнения:
   \(\frac{q}{1 + q} = \frac{3}{4} \quad ⇒ \quad 4q = 3(1 + q) \quad ⇒ \quad q = 3\).
   Ответ: Знаменатель прогрессии \(q = 3\).
4. При каких значениях \(a\) среди решений неравенства \(x^2 + 2x + a < 0\) содержится ровно три целочисленных решения?
   Решение: Корни квадратного трёхчлена:
   \(x = -1 \pm \sqrt{1 - a}\). Дискриминант положителен при \(a < 1\). Интервал решения неравенства:
   \(-1 - \sqrt{1 - a} < x < -1 + \sqrt{1 - a}\).
   Три целых числа внутри интервала возможно, если:
   \(-3 < -1 - \sqrt{1 - a} ≤ -4\) и \(0 ≤ -1 + \sqrt{1 - a} < 1\).
   Решим систему: $$\begin{aligned} 3 ≤ \sqrt{1 - a} < 4 \quad ⇒ \quad 9 ≤ 1 - a < 16 \quad ⇒ \quad -15 < a ≤ -8 \end{aligned}$$ При этих значениях интервал содержит целые числа \(-3, -2, -1\). $\newline$ Ответ: \(a \in (-15; -8]\).
5. Окружности радиусов \(R_1 = 4\) и \(R_2 = 9\) касаются прямой \(l\) и друг друга. Третья окружность касается \(l\) и первых двух внешним образом. Найти её радиус. $\newline$ Решение: Примем прямую \(l\) за ось \(x\). Координаты центров: \((x_1, 4)\), \((x_2, 9)\), расстояние между ними: $\newline$ \(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + 5^2} = 13 ⇒ x_2 - x_1 = 12\). $\newline$ Для третьей окружности с центром \((x, r)\) выполняются уравнения: $$\begin{aligned} \sqrt{(x - x_1)^2 + (r - 4)^2} = r + 4 \\ \sqrt{(x - x_2)^2 + (r - 9)^2} = r + 9 \end{aligned}$$ Разность уравнений после упрощений даёт \(r = \frac{36}{7}\).
   Ответ: Радиус третьей окружности \(\frac{36}{7}\).