СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 10 в 11 класс 2017 год вариант 2

1. Когда Коля начал решать задачи вступительного экзамена, часовая и минутная стрелка образовывали тупой угол \(\beta\). Через 2 часа экзамен закончился и Коля заметил, что стрелки снова образуют угол, равный \(\beta\). При каком \(\beta\) такое возможно?
2. Сколько существует целых \(a\), таких, что уравнение \[ x^2 + a x + 50050 = 0 \] имеет два целых корня?
3. Три числа \(a,b,c\) являются в указанном порядке последовательными членами геометрической прогрессии, причём \[ a + b + c = 28,\quad ab + bc + ac = 196. \] Найдите \(b\).
4. В равнобедренной трапеции \(ABCD\) (\(BC\parallel AD\)) угол \(ABC\) равен \(120^\circ\). Известно, что диагональ трапеции делит острый угол трапеции пополам, а её длина равна 6. Найдите площадь трапеции.
5. На графике квадратичной функции \[ y = kx^2 + \ell x + m \] с целыми коэффициентами \(k,\ell,m\) отмечены две различные точки \(P\) и \(Q\) с целыми координатами. Докажите, что если длина отрезка \(PQ\) — целое число, то он параллелен оси \(Ox\).

1. \(150^\circ\)
2. \(48\)
3. \(b = 7\)
4. \(9\sqrt{3}\)

Решения задач

1. Когда Коля начал решать задачи, часовая и минутная стрелки образовывали тупой угол \(\beta\). Через 2 часа угол снова стал равен \(\beta\). Определим возможное значение \(\beta\). Решение: Пусть в начальный момент времени часовая стрелка находилась на отметке \(H\) часов, а минутная — на \(M\) минут. Угол между стрелками вычисляется по формуле: \[ \theta = |30H - 5.5M| \] По условию \(\theta = \beta\) (тупой угол). Через 2 часа время станет \(H+2\) часов и \(M + 120\) минут (но \(M\) должно быть меньше 60). Новый угол: \[ \theta' = |30(H+2) - 5.5(M + 120)| = |30H + 60 - 5.5M - 660| = |30H - 5.5M - 600| \] По условию \(\theta' = \beta\), тогда: \[ |30H - 5.5M| = |30H - 5.5M - 600| = \beta \] Уравнение выполняется, если \(30H - 5.5M = -(30H - 5.5M - 600)\). Решая: \[ 60H - 11M = 600 \quad \Rightarrow \quad M = \frac{60H - 600}{11} \] Проверяя целочисленные решения, находим \(H=11\), \(M=0\). Начальный угол: \[ \beta = |30\cdot11 - 5.5\cdot0| = 330^\circ \quad (\text{но учитывая модуль, } \beta = 30^\circ) \] Однако \(\beta\) должен быть тупым углом. Альтернативное решение: через симметрию углов. Угол между стрелками за 2 часа проходит \(\frac{2}{12} \cdot 360^\circ = 60^\circ\). Учитывая отражение углов: \[ \beta = 180^\circ - \frac{60^\circ}{2} = 150^\circ \] Ответ: 150°.
2. Найдём целые \(a\), при которых уравнение \(x^2 + ax + 50050 = 0\) имеет два целых корня. Решение: Пусть корни \(p\) и \(q\). По теореме Виета: \[ \begin{cases} p + q = -a \\ p \cdot q = 50050 \end{cases} \] Разложим 50050 на множители: \[ 50050 = 2 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \] Количество пар делителей \((p, q)\) равно \(2^4 = 16\) (учёт знака). Для каждой пары \(a = -(p + q)\). Уникальные значения \(a\) соответствуют различным суммам пар. Находим все возможные суммы положительных и отрицательных пар: \[ a = \pm(1 + 50050), \pm(2 + 25025), \pm(5 + 10010), \dots \] Итого 16 разных значений \(a\). Ответ: 16.
3. Даны три числа \(a, b, c\) в геометрической прогрессии с условиями: \[ a + b + c = 28, \quad ab + bc + ac = 196 \] Найдём \(b\). Решение: Пусть \(a = \frac{b}{r}\), \(c = br\). Подставляем в уравнения: \[ \frac{b}{r} + b + br = 28 \quad \Rightarrow \quad b\left(\frac{1}{r} + 1 + r\right) = 28 \] \[ \frac{b^2}{r} + b^2r + b^2 = 196 \quad \Rightarrow \quad b^2\left(\frac{1}{r} + r + 1\right) = 196 \] Деля второе уравнение на первое, получим \(b = 7\). Ответ: 7.
4. В равнобедренной трапеции \(ABCD\) (\(BC \parallel AD\)) угол \(ABC = 120^\circ\), диагональ \(BD = 6\) делит острый угол пополам. Найдём площадь трапеции. Решение: Пусть диагональ \(BD\) делит угол \(ABC\) на \(60^\circ\) и \(60^\circ\). Рассмотрим треугольник \(ABD\): \[ \angle ABD = 60^\circ, \quad BD = 6, \quad \angle BAD = 60^\circ \] По теореме косинусов: \[ AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2 \cdot AB \cdot BD \cdot \cos(60^\circ) \] Подставляя \(AD = 2AB\) (из свойств углов), находим \(AB = 2\). Высота трапеции \(h = AB \cdot \sin(60^\circ) = \sqrt{3}\). Средняя линия \((BC + AD)/2 = 3\), площадь \(S = 3 \cdot \sqrt{3} \cdot 6 = 18\sqrt{3}\). Ответ: \(18\sqrt{3}\).
5. Докажем, что отрезок \(PQ\) на графике квадратичной функции с целыми коэффициентами, имеющий целую длину, параллелен оси \(Ox\). Доказательство: Пусть \(P(p, y_p)\) и \(Q(q, y_q)\) — целые точки. Разность координат: \[ y_q - y_p = k(q^2 - p^2) + \ell(q - p) = (q - p)(k(q + p) + \ell) \] Если \(PQ\) не горизонтален, то \(\Delta y \neq 0\). Длина отрезка: \[ PQ = \sqrt{(q - p)^2 + (\Delta y)^2} \] Поскольку \((q - p)\) и \(\Delta y\) целые, сумма квадратов должна быть полным квадратом. Для \(\Delta y \neq 0\) это возможно только если \((q - p)\) делит \((\Delta y)\), что противоречит уникальности коэффициентов. Следовательно, \(\Delta y = 0\), отрезок горизонтален.