СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 10 в 11 класс 2017 год вариант 1

1. Когда Петя начал решать задачи вступительного экзамена, часовая и минутная стрелка образовывали острый угол \(\alpha\). Через 2 часа экзамен закончился и Петя заметил, что стрелки снова образуют угол, равный \(\alpha\). При каком \(\alpha\) такое возможно?
2. Сколько существует целых \(b\), таких, что уравнение \[ x^2 + b x + 80080 = 0 \] имеет два целых корня?
3. Три числа \(a,b,c\) являются в указанном порядке последовательными членами геометрической прогрессии, причём \[ a + b + c = 26,\quad ab + bc + ac = 156. \] Найдите \(b\).
4. В равнобедренной трапеции \(ABCD\) (\(BC \parallel AD\), \(BC:AD = 1:2\)) известно, что диагональ трапеции делит острый угол трапеции пополам, а её длина равна 3. Найдите площадь трапеции.
5. На графике квадратичной функции \(y = ax^2 + bx + c\) с целыми коэффициентами \(a,b,c\) отмечены две различные точки \(A\) и \(B\) с целыми координатами. Докажите, что если длина отрезка \(AB\) — целое число, то он параллелен оси \(Ox\).

1. \(30^\circ\)
2. \(80\)
3. \(b = 6\)
4. \(\displaystyle \frac{9\sqrt{3}}{4}\)

Решения задач

1. Когда Петя начал решать задачи вступительного экзамена, часовая и минутная стрелка образовывали острый угол $\alpha$. Через 2 часа экзамен закончился и Петя заметил, что стрелки снова образуют угол, равный $\alpha$. При каком $\alpha$ такое возможно?
   Решение: Пусть начальное время $t$ часов. За 2 часа минутная стрелка совершит 2 полных оборота (720°), а часовая переместится на 60°. Угол между стрелками определяется формулой:
   $|\theta| = |30H - 5.5M| \mod 360$, где $H$ — часы, $M$ — минуты.
   Через 2 часа угол сохранится, когда:
   $|30(H+2) - 5.5M| = |30H - 5.5M| \mod 360$
   Упрощаем:
   $60 = 0 \mod 360$ (невозможно) или $60 - 2\alpha = 0$, откуда $\alpha = 30^{\circ}$. Но так как угол острый, $\alpha = 60^{\circ}$.
   Ответ: $\alpha = 60^{\circ}$.
   
   
2. Сколько существует целых $b$, таких, что уравнение \[ x^2 + b x + 80080 = 0 \] имеет два целых корня?
   Решение: Пусть корни $m$ и $n$. По теореме Виета:
   $\begin{cases} m + n = -b \\ mn = 80080 \end{cases}$
   Разложим 80080 на множители: $80080 = 2^4 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13$. Количество пар делителей: $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$. Учитывая отрицательные пары, получаем $32$ возможных $b = -(m+n)$. Устраняя симметричные пары, остаётся 16 уникальных $b$.
   Ответ: 16.
   
   
3. Три числа $a,b,c$ являются в указанном порядке последовательными членами геометрической прогрессии, причём \[ a + b + c = 26,\quad ab + bc + ac = 156. \] Найдите $b$.
   Решение: Пусть $a = \frac{b}{q}$, $c = bq$. Подставляем в уравнения:
   $\frac{b}{q} + b + bq = 26 \Rightarrow b\left(\frac{1}{q} + 1 + q\right) = 26$
   $ab + bc + ca = b^2\left(\frac{1}{q} + q + 1\right) = 156$
   Деля второе уравнение на квадрат первого, получаем:
   $\frac{b^2 \cdot k}{b^2 \cdot k^2} = \frac{156}{26^2} \Rightarrow k = 4$, где $k = \frac{1}{q} + q + 1$
   Решая квадратное уравнение для $q$, находим $q = 3$. Подставляя обратно, $b = 6$.
   Ответ: 6.
   
   
4. В равнобедренной трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$, $BC:AD = 1:2$) известно, что диагональ трапеции делит острый угол трапеции пополам, а её длина равна 3. Найдите площадь трапеции.
   Решение: Пусть $BC = x$, $AD = 2x$. Так как диагональ делит угол $\angle BAD$ пополам, треугольник $ABD$ равнобедренный: $AB = BD = 3$. Проведём высоту $BH$:
   $BH = \sqrt{AB^2 - \left(\frac{AD - BC}{2}\right)^2} = \sqrt{9 - \left(\frac{x}{2}\right)^2}$
   Площадь трапеции:
   $S = \frac{(BC + AD)}{2} \cdot BH = \frac{3x}{2} \cdot \sqrt{9 - \frac{x^2}{4}}$
   Из подобия треугольников находим $x = 2$. Подставляя, получаем $S = 3\sqrt{3}$.
   Ответ: $3\sqrt{3}$.
   
   
5. На графике квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ с целыми коэффициентами $a,b,c$ отмечены две различные точки $A$ и $B$ с целыми координатами. Докажите, что если длина отрезка $AB$ — целое число, то он параллелен оси $Ox$.
   Доказательство: Пусть $A(m, y_1)$ и $B(n, y_2)$ — целые точки. Тогда:
   $y_1 - y_2 = a(m^2 - n^2) + b(m - n) = (m - n)(a(m + n) + b)$
   Если $AB$ не горизонтален, $y_1 \ne y_2$. Тогда длина:
   $AB = \sqrt{(m - n)^2 + (y_1 - y_2)^2} = \sqrt{(m - n)^2[1 + (a(m + n) + b)^2]}$
   Для целочисленности подкоренное выражение должно быть полным квадратом. Это возможно только если $a(m + n) + b = 0$ (иначе множитель справа будет больше 1 и неравен квадрату). Тогда $y_1 = y_2$, т.е. отрезок параллелен оси $Ox$.