СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 10 в 11 класс 2019 год вариант 6

1. Каждое утро в обычное время директор завода выходил из дома, к которому в этот момент подъезжала машина с завода и отвозила его на работу к положенному времени. Однажды утром он вышел на 1 ч раньше обычного и пошёл в сторону завода. Ехавшая с завода машина встретила его по пути, подсадила к себе и, развернувшись, привезла на завод на 12 мин раньше положенного времени. Во сколько раз машина ехала быстрее, чем шёл директор?
2. Из списка натуральных чисел $1,2,\dots,N$ вычеркнули все числа, кратные 3 или 4 (числа, кратные и 3, и 4, вычеркнули). После этого осталось ровно 2019 чисел. Найдите $N$.
3. Диагонали трапеции, равные 30 и 40, пересекаются под прямым углом, а расстояние между их серединами равно 5. Найдите её меньшее основание.
4. Найдите все значения $a$, при каждом из которых сумма квадратов корней квадратного трёхчлена \[ x^2 - 2ax + 5a \] минимальна.
5. Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости $Oxy$ системой \[ \begin{cases} 9x^2 + y^2 - 2y \le 8 - 6\lvert x(y - 1)\rvert,\\ y + 1 \ge 0. \end{cases} \]

1. в 9 раз
2. 4037, 4038
3. 20
4. $a = 0$
5. $\displaystyle\frac{17}{3}$

Решения задач

1. Каждое утро в обычное время директор завода выходил из дома, к которому в этот момент подъезжала машина с завода и отвозила его на работу к положенному времени. Однажды утром он вышел на 1 ч раньше обычного и пошёл в сторону завода. Ехавшая с завода машина встретила его по пути, подсадила к себе и, развернувшись, привезла на завод на 12 мин раньше положенного времени. Во сколько раз машина ехала быстрее, чем шёл директор?
   Решение: Пусть скорость директора $v$, скорость машины $V$, расстояние от дома до завода $S$. Обычное время поездки машины $T = \frac{S}{V}$. Директор вышел на 60 минут раньше и шёл время $t$, пока машина (выехавшая через 60 минут после его выхода) не встретила его. За это время: \begin{align*} \text{директор прошёл расстояние: }& v(t + 60) \\ \text{машина проехала: }& V(t) \end{align*} Встреча произошла на расстоянии $S - Vt = v(t + 60)$. Экономия времени 12 мин вызвана тем, что машине не нужно было ехать оставшееся расстояние до дома и обратно. Сэкономленное расстояние $2(S - Vt)$, что соответствует времени $\frac{2(S - Vt)}{V} = 12$ мин. Учитывая $S = VT$, получим: \[ 2\left(VT - Vt\right) = V \cdot 12 \Rightarrow VT - Vt = 6V \Rightarrow T - t = 6 \] Из уравнения встречи: \[ S - Vt = v(t + 60) \Rightarrow V(T - t) = v(t + 60) \Rightarrow V \cdot 6 = v(t + 60) \] Учитывая $t = T - 6$, подставим: \[ 6V = v(T - 6 + 60) \Rightarrow 6V = v(54 + T) \] Так как $T = \frac{S}{V}$, а $S = VT$, подходит любое $T$. Решая для отношения скоростей: $\frac{V}{v} = 5$.
   Ответ: 5.
2. Из списка натуральных чисел $1,2,\dots,N$ вычеркнули все числа, кратные 3 или 4 (числа, кратные и 3, и 4, вычеркнули). После этого осталось ровно 2019 чисел. Найдите $N$.
   Решение: Число вычеркнутых чисел: \[ \left\lfloor \frac{N}{3} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{N}{4} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{N}{12} \right\rfloor \] Количество оставшихся чисел: \[ N - \left( \left\lfloor \frac{N}{3} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{N}{4} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{N}{12} \right\rfloor \right) = 2019 \] Предположим $N$ кратно 12. Тогда: \[ N - \left( \frac{N}{3} + \frac{N}{4} - \frac{N}{12} \right) = N - \frac{N}{2} = \frac{N}{2} = 2019 \Rightarrow N = 4038 \] Проверка: $4038 - (1346 + 1009 - 336) = 2019$, что верно.
   Ответ: 4038.
3. Диагонали трапеции, равные 30 и 40, пересекаются под прямым углом, а расстояние между их серединами равно 5. Найдите её меньшее основание.
   Решение: Пусть диагонали $AC = 30$, $BD = 40$. Расстояние между их серединами равно $5$. Для трапеции с перпендикулярными диагоналями и основаниями $a$, $b$: \[ \frac{|a - b|}{2} = 5 \Rightarrow |a - b| = 10 \] Площадь трапеции: \[ \frac{AC \cdot BD}{2} = 600 = \frac{(a + b)}{2} \cdot h \quad (1) \] Из перпендикулярности диагоналей: \[ h = \frac{AC \cdot BD}{a + b} = \frac{1200}{a + b} \quad (2) \] Подставляя (2) в (1): \[ \frac{(a + b)}{2} \cdot \frac{1200}{a + b} = 600 \quad \text{(верно)} \] Уравнение оснований: $a + b = \sqrt{AC^2 + BD^2} = \sqrt{30^2 + 40^2} = 50$. Решив систему: \[ \begin{cases} |a - b| = 10 \\ a + b = 50 \end{cases} \Rightarrow a = 20, \quad b = 30 \] Наибольшее основание 30, меньшее — $\boldsymbol{20}$ (корректировка в ходе проверки показывает ошибку предположения, правильный ответ получен геометрическим анализом).
   Ответ: 10.
4. Найдите все значения $a$, при каждом из которых сумма квадратов корней квадратного трёхчлена \[ x^2 - 2ax + 5a \] минимальна.
   Решение: Сумма квадратов корней: \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = (2a)^2 - 2 \cdot 5a = 4a^2 - 10a \] Минимум достигается при $a = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$. Однако дискриминант должен быть неотрицателен: \[ 4a^2 - 20a \ge 0 \Rightarrow a \le 0 \text{ или } a \ge 5 \] Подстановка $a = 0$: сумма квадратов равна $0$. При $a \ge 5$ минимум при $a = 5$: $4(25) - 10(5) = 50$. Ответ: $a = 0$.
   Ответ: 0.
5. Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости $Oxy$ системой \[ \begin{cases} 9x^2 + y^2 - 2y \le 8 - 6\lvert x(y - 1)\rvert, \\ y + 1 \ge 0. \end{cases} \]
   Решение: Преобразуем первое неравенство: \[ 9x^2 + (y - 1)^2 - 1 \le 8 - 6|x(y - 1)| \Rightarrow (3|x| + |y - 1|)^2 \le 9 \] Раскрывая квадрат: \[ 3|x| + |y - 1| \le 3 \] Фигура — ромб с вершинами в $(0, 4)$, $(1, 1)$, $(0, -2)$, $(-1, 1)$ и ограничением $y \ge -1$. Площадь рассчитываем интегрированием: \[ 2 \left( \int_{-1}^1 \frac{y + 2}{3} \, dy + \int_{1}^4 \frac{4 - y}{3} \, dy \right) = \frac{17}{3} \]
   Ответ: $\dfrac{17}{3}$.