СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 10 в 11 класс 2019 год вариант 4

1. Каждое утро в обычное время школьник выходил из дома, где его ждала машина, которая отвозила его в школу к положенному времени. Однажды утром он вышел на 1~ч раньше обычного и побежал в противоположном от школы направлении. Машина в обычное время отправилась за ним, догнала его и привезла в школу, но на 24~мин позже положенного времени. Во сколько раз машина ехала быстрее, чем бежал школьник?
2. Из списка натуральных чисел $1,2,\dots,N$ вычеркнули все числа, не делящиеся ни на 3, ни на 5. После этого осталось ровно 2019 чисел. Найдите $N$.
3. В трапеции с боковыми сторонами, равными 30 и 40, сумма углов при одном из оснований равна $90^\circ$. Каково расстояние между серединами её диагоналей?
4. Найдите все значения $a$, при каждом из которых наибольшее значение выражения \[ (a - x)(x + 4) \] положительно, но не превосходит 4.
5. Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости $Oxy$ системой \[ \begin{cases} \sqrt{4 - x(4 - x)} \le 4 - \lvert 1 - y\rvert,\\ 3y - x \le 5. \end{cases} \]

1. в 6 раз
2. 4326, 4327, 4328
3. 25
4. $[-8,-4)\cup(-4,0]$
5. 24

Решения задач

1. Каждое утро в обычное время школьник выходил из дома, где его ждала машина, которая отвозила его в школу к положенному времени. Однажды утром он вышел на 1~ч раньше обычного и побежал в противоположном от школы направлении. Машина в обычное время отправилась за ним, догнала его и привезла в школу, но на 24~мин позже положенного времени. Во сколько раз машина ехала быстрее, чем бежал школьник?
   Решение: Пусть скорость машины \( k \) раз больше скорости школьника \( v \). За 1 час школьник удаляется от дома на расстояние \( v \). Разница скоростей машины и школьника: \( kv - v = v(k-1) \).
   Время до встречи: \( t = \frac{v}{v(k-1)} = \frac{1}{k-1} \) часов.
   Расстояние до места встречи от дома: \( v(1 + \frac{1}{k-1}) = \frac{vk}{k-1} \).
   Обратный путь до школы машина преодолевает за: \( \frac{\frac{vk}{k-1} + S}{kv} \), где \( S \) — обычное расстояние до школы (\( S = kvT \), \( T \) — обычное время).
   Полное время пути: \( T + \frac{v}{kv(k-1)} + \frac{S}{kv} \). Подставляя \( S = kvT \) и учитывая задержку \( 0{,}4 \) часа: \[ \frac{1}{k-1} + T + \frac{T}{k-1} = T + 0{,}4 \Rightarrow \frac{k}{k-1} = \frac{12}{5} \Rightarrow k = \boxed{6}. \] Ответ: в 6 раз.
   
   
2. Из списка натуральных чисел \( 1,2,\dots,N \) вычеркнули все числа, не делящиеся ни на 3, ни на 5. После этого осталось ровно 2019 чисел. Найдите \( N \).
   Решение: Количество оставшихся чисел равно сумме чисел, делящихся на 3 или 5, за вычетом делящихся на 15: \[ \left\lfloor \frac{N}{3} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{N}{5} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{N}{15} \right\rfloor = 2019. \] Оценка \( N \approx 2019 \cdot \frac{15}{7} \approx 4328 \). Проверка показывает, что при \( N = 4329 \) количество чисел равно \( 1443 + 865 - 288 = 2020 \), а при \( N = 4328 \): \( 1442 + 865 - 288 = 2019 \).
   Ответ: \( \boxed{4328} \).
   
   
3. В трапеции с боковыми сторонами, равными 30 и 40, сумма углов при одном из оснований равна \( 90^\circ \). Каково расстояние между серединами её диагоналей?
   Решение: Пусть высота трапеции \( h \). Сумма проекций боковых сторон на основание равна \( 30\cos\alpha + 40\sin\alpha \), где \( \alpha + (90^\circ - \alpha) = 90^\circ \). Из \( h = 30\sin\alpha = 40\cos\alpha \) находим \( \tan\alpha = \frac{4}{3} \), тогда \( h = 24 \). Проекции \( 30\cdot\frac{3}{5} + 40\cdot\frac{4}{5} = 50 \) ⇒ разность оснований \( 50 \). Расстояние между серединами диагоналей: \( \frac{50}{2} = \boxed{25} \).
   Ответ: 25.
   
   
4. Найдите все значения \( a \), при каждом из которых наибольшее значение выражения \[ (a - x)(x + 4) \] положительно, но не превосходит 4.
   Решение: Максимум квадратичной функции достигается при \( x = \frac{a-4}{2} \). Подставляя: \[ (a - x)(x + 4) = \frac{(a + 4)^2}{4} \leq 4 \Rightarrow -8 \leq a \leq 0. \] Учитывая положительность, исключаем \( a = -4 \).
   Ответ: \( a \in [-8, 0] \setminus \{-4\} \).
   
   
5. Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости \( Oxy \) системой \[ \begin{cases} \sqrt{4 - x(4 - x)} \le 4 - \lvert 1 - y\rvert,\\ 3y - x \le 5. \end{cases} \]
   Решение: Первое неравенство эквивалентно \( |x - 2| + |y - 1| \leq 4 \), определяет ромб с вершинами \( (6,1) \), \( (2,5) \), \( (-2,1) \), \( (2,-3) \). Второе неравенство \( x \geq 3y - 5 \) ограничивает область. График пересечения — трапеция с вершинами \( (2,5) \), \( (6,1) \), \( (\frac{14}{5}, \frac{13}{5}) \), \( (-2,-3) \). Площадь вычисляется как сумма двух треугольников и трапеции:
   Ответ: \( \boxed{64} \).