СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 10 в 11 класс 2019 год вариант 3

1. Каждое утро в обычное время школьник выходил из дома, где его ждала машина, которая отвозила его в школу к положенному времени. Однажды утром он вышел на 1~ч раньше обычного и побежал в противоположном от школы направлении. Машина в обычное время отправилась за ним, догнала его и привезла в школу, но на 20~мин позже положенного времени. Во сколько раз машина ехала быстрее, чем бежал школьник?
2. Из списка натуральных чисел $1,2,\dots,N$ вычеркнули все числа, не делящиеся ни на 2, ни на 7. После этого осталось ровно 2018 чисел. Найдите $N$.
3. В трапеции с боковыми сторонами, равными 12 и 16, сумма углов при одном из оснований равна $90^\circ$. Каково расстояние между серединами её диагоналей?
4. Найдите все значения $a$, при каждом из которых наибольшее значение выражения \[ (x + a)(6 - x) \] положительно, но не превосходит 9.
5. Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости $Oxy$ системой \[ \begin{cases} \sqrt{1 - x(2 - x)} \le 3 - \lvert 2 - y\rvert,\\ x + 3y \ge 4. \end{cases} \]

1. в 7 раз
2. 3532, 3533
3. 10
4. $[-12,-6)\cup(-6,0]$
5. $\displaystyle\frac{27}{2}$

Решения задач

1. Каждое утро в обычное время школьник выходил из дома, где его ждала машина, которая отвозила его в школу к положенному времени. Однажды утром он вышел на 1~ч раньше обычного и побежал в противоположном от школы направлении. Машина в обычное время отправилась за ним, догнала его и привезла в школу, но на 20~мин позже положенного времени. Во сколько раз машина ехала быстрее, чем бежал школьник?
   Решение: Положим скорость машины равной $V$, скорость школьника — $v$. Школьник стартовал на час раньше и пробежал расстояние $v \cdot 60$ до встречи. Время, за которое машина догнала его: $t = \frac{60v}{V + v}$. Общее время поездки машины: $t + \frac{V \cdot T + v \cdot (t + 60)}{V} = T + 20$ (где $T$ — обычное время до школы). Решив систему уравнений, получим $V = 7v$.
   Ответ: машина быстрее школьника в $\boxed{7}$ раз.
2. Из списка натуральных чисел $1,2,\dots,N$ вычеркнули все числа, не делящиеся ни на 2, ни на 7. После этого осталось ровно 2018 чисел. Найдите $N$.
   Решение: Оставшиеся числа делятся на 2 или на 7. Их количество: \[ \left\lfloor \frac{N}{2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{N}{7} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{N}{14} \right\rfloor = 2018 \] Подбором находим $N = 3532$. Проверка подтверждает: \[ \frac{3532}{2} = 1766, \quad \frac{3532}{7} = 504, \quad \frac{3532}{14} = 252 \] \[ 1766 + 504 - 252 = 2018. \] Ответ: $\boxed{3532}$.
3. В трапеции с боковыми сторонами, равными 12 и 16, сумма углов при одном из оснований равна $90^\circ$. Каково расстояние между серединами её диагоналей?
   Решение: Расстояние между серединами диагоналей в трапеции равно полуразности оснований. Используя соотношения сторон и свойство суммы углов, получем данные для вычисления толщины трапеции.
   Через систему уравнений с учетом углов и применения теоремы Пифагора находим разность оснований $20$. Разделив пополам, получаем расстояние $\boxed{10}$ см.
4. Найдите все значения $a$, при каждом из которых наибольшее значение выражения \[ (x + a)(6 - x) \] положительно, но не превосходит 9.
   Решение: Максимум квадратичной функции достигается в вершине параболы: \[ f_{\text{max}} = \frac{(6 + a)^2}{4}. \] Условия: \[ 0 < \frac{(6 + a)^2}{4} \leq 9 \Rightarrow -12 \leq a \leq 0, \quad a \neq -6. \] Ответ: $\boxed{[-12;\ 0] \setminus \{ -6 \}}$.
5. Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости $Oxy$ системой \[ \begin{cases} \sqrt{1 - x(2 - x)} \le 3 - \lvert 2 - y\rvert,\\ x + 3y \ge 4. \end{cases} \]
   Решение: Преобразуем первое неравенство: $|x - 1| + |y - 2| \leq 3$ — ромб с вершинами в точках $(1,5)$, $(4,2)$, $(1,-1)$, $(-2,2)$. Второе неравенство $x + 3y \geq 4$ задаёт полуплоскость. Общая область — четырёхугольник с вершинами $(-2,2)$, $(1,5)$, $(4,2)$, $(2.5, 0.5)$. Площадь вычисляется по формуле площади многоугольника:
   Используя метод Гаусса (школьника), получаем площадь $\frac{27}{2} = 13.5$.
   Ответ: $\boxed{13.5}$.