СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 10 в 11 класс 2016 год вариант 2
Печать
youit.school ©
Физико–математическое отделение. Москва – 5 июня 2016.
Письменная работа по математике для поступающих в 11 класс
Вариант 2
Письменная работа по математике для поступающих в 11 класс
Вариант 2
- К числителю дроби \(\tfrac{8}{15}\) прибавлено число 56. Какое натуральное число нужно прибавить к знаменателю, чтобы полученная дробь была на 300% больше первоначальной?
- Решить уравнение \[ \bigl|x^2 - 4\bigr| + \bigl|x^2 - 7\bigr| = 3. \]
- Сколько существует различных арифметических прогрессий, состоящих из трёх членов, все члены которых являются целыми числами и принадлежат отрезку \([3015;3024]\)?
- В трапеции с основаниями \(AB\) и \(CD\) диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются под углом \(60^\circ\). Найти длину средней линии этой трапеции, если \(AC = 7\) и \(BD = 8\).
- Сравнить числа \[ a = 3019^{3017}3017^{3019} \quad\text{и}\quad b = 3018^{6036}. \]
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- К числителю дроби \(\tfrac{8}{15}\) прибавлено число 56. Какое натуральное число нужно прибавить к знаменателю, чтобы полученная дробь была на 300% больше первоначальной?
Решение: Изначальная дробь \(\frac{8}{15}\). 300% увеличение означает, что новая дробь должна быть в 4 раза больше: \(4 \cdot \frac{8}{15} = \frac{32}{15}\). Составим уравнение: \[ \frac{8+56}{15+x} = \frac{32}{15} \implies \frac{64}{15+x} = \frac{32}{15}. \] Решаем пропорцию: \[ 64 \cdot 15 = 32 \cdot (15+x) \implies 960 = 480 + 32x \implies 480 = 32x \implies x = 15. \] Ответ: 15. - Решить уравнение
\[
\bigl|x^2 - 4\bigr| + \bigl|x^2 - 7\bigr| = 3.
\]
Решение: Рассмотрим критические точки, где \(x^2 = 4\) (\(x = \pm2\)) и \(x^2 = 7\) (\(x = \pm\sqrt{7}\)). Разобьём числовую ось на интервалы:- \(x^2 < 4\): \(|x^2 - 4| = 4 - x^2\), \(|x^2 - 7| = 7 - x^2\): \[ (4 - x^2) + (7 - x^2) = 3 \implies 11 - 2x^2 = 3 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm2. \] Но это противоречит условию \(x^2 < 4\).
- \(4 \leq x^2 \leq 7\): \(|x^2 - 4| = x^2 - 4\), \(|x^2 - 7| = 7 - x^2\): \[ (x^2 - 4) + (7 - x^2) = 3 \implies 3 = 3. \] Все \(x\) из этого диапазона являются решениями: \[ x \in [-\sqrt{7}, -2] \cup [2, \sqrt{7}]. \]
- \(x^2 > 7\): \(|x^2 - 4| = x^2 - 4\), \(|x^2 - 7| = x^2 - 7\): \[ (x^2 - 4) + (x^2 - 7) = 3 \implies 2x^2 - 11 = 3 \implies x^2 = 7 \implies x = \pm\sqrt{7}. \] Но это противоречит условию \(x^2 > 7\).
- Сколько существует различных арифметических прогрессий, состоящих из трёх членов, все члены которых являются целыми числами и принадлежат отрезку \([3015;3024]\)?
Решение: Для арифметической прогрессии \(a, a+d, a+2d\):- Разность \(d\) может быть: \(-4 \leq d \leq 4\) (включая 0).
- Для каждого \(d\) подсчитываем количество возможных \(a\) так, чтобы числа оставались в \([3015;3024]\):
- Для \(d \ne 0\): \(20\) прогрессий для положительных/отрицательных \(d\), итого \(40\).
- Для \(d = 0\): 10 вариантов (\(a\) от 3015 до 3024).
- В трапеции с основаниями \(AB\) и \(CD\) диагонали \(AC = 7\) и \(BD = 8\) пересекаются под углом \(60^\circ\). Найти длину средней линии.
Решение: Пусть \(AB = a\), \(CD = b\), средняя линия \(m = \frac{a + b}{2}\). Используя теорему косинусов для треугольника \(AOB\), где \(AO = \frac{7a}{a + b}\), \(BO = \frac{8a}{a + b}\), угол \(60^\circ\): \[ a^2 = \left(\frac{7a}{a + b}\right)^2 + \left(\frac{8a}{a + b}\right)^2 - 2 \cdot \frac{7a}{a + b} \cdot \frac{8a}{a + b} \cdot \cos{60^\circ}. \] Решая уравнение, находим \(a + b = \sqrt{85}\), тогда средняя линия: \[ m = \frac{\sqrt{85}}{2}. \] Ответ: \(\frac{\sqrt{85}}{2}\). - Сравнить числа
\[
a = 3019^{3017}3017^{3019} \quad\text{и}\quad b = 3018^{6036}.
\]
Решение: Прологарифмируем оба числа: \[ \ln{a} = 3017\ln{3019} + 3019\ln{3017}, \quad \ln{b} = 6036\ln{3018}. \] Выразим разность: \[ \ln{a} - \ln{b} = 3017(\ln{3019} - \ln{3018}) + 3019(\ln{3017} - \ln{3018}). \] Используя приближение логарифмов для больших \(x = 3018\), получим: \[ \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) \approx \frac{1}{x}, \quad \ln\left(1 - \frac{1}{x}\right) \approx -\frac{1}{x}. \] После подстановки и упрощений: \[ \ln{a} - \ln{b} \approx -\frac{3}{x} \implies \ln{a} < \ln{b} \implies a < b. \] Ответ: \(a < b\).
Материалы школы Юайти