СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 10 в 11 класс 2018 год вариант 2
Печать
youit.school ©
СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение. 31 марта 2018 г.
Письменная работа для поступающих в 11 класс (на 120 мин)
Математика. Вариант 11-2
Математика. Вариант 11-2
- Найдите все целочисленные решения неравенства:
\[
\frac{\sqrt{2018} - \sqrt{3018}}{x^2 - \sqrt{2018}} < -1.
\]
- Пункт A расположен на дороге между пунктами B и C. Из пункта A в пункт B вышел пешеход, а через час из пункта A вслед за ним выехал мотоциклист, догнал пешехода и, развернувшись, привез его в пункт C. На весь путь водитель потратил на 20 минут больше, чем если бы он сразу поехал в пункт C. Во сколько раз скорость мотоцикла больше скорости пешехода? (Считайте эти скорости постоянными.)
- На доске последовательно выписаны такие четыре числа, что каждое следующее из них на одну и ту же величину больше предыдущего. Сумма квадратов этих чисел равна 80, а сумма их же кубов равна 0. Найдите выписанные числа.
- Найдите наибольшее значение \(n\), при котором утвердительное количество всех \(n\)-значных натуральных чисел, содержащих цифру 4 (в своей десятичной записи), меньше удвоенного количества всех \(n\)-значных чисел, не содержащих цифру 4.
- Катет \(AC\) прямоугольного треугольника \(ABC\) равен 17. Найдите длину его другого катета \(BC\), если известно, что наименьшее значение длины гипотенузы всевозможных прямоугольных треугольников с катетами, параллельными катетам треугольника \(ABC\), и вершинами, лежащими на разных его сторонах (не в вершинах), равно 8.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Вариант 11-ФМ-2
- -7, 7
- в 7 раз
- 6, 2, -2, -6
- 3
- \( \frac{136}{15} \)
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Найдите все целочисленные решения неравенства:
\[
\frac{\sqrt{2018} - \sqrt{3018}}{x^2 - \sqrt{2018}} < -1.
\]
Решение:
Упростим неравенство. Так как $\sqrt{3018} > \sqrt{2018}$, числитель отрицателен. Перенесем $-1$ в левую часть и приведём к общему знаменателю: $\frac{\sqrt{2018} - \sqrt{3018} + x^{2} - \sqrt{2018}}{x^{2} - \sqrt{2018}} < 0 \implies \frac{x^{2} - \sqrt{3018}}{x^{2} - \sqrt{2018}} 0$ (т.е. $x^{2} > \sqrt{3018} \approx54.9$) и Знаменатель $x^{2} - \sqrt{2018} < 0$ (т.е. $x^{2} < \sqrt{2018} \approx44.9$) — противоречие. 2) Числитель $x^2 - \sqrt{3018} < 0$ (т.е. $x^2 0$ (т.е. $x^2 >44.9$).
Единственные целочисленные решения $x^2=49 \Rightarrow x=\pm7$.
Ответ: $\boxed{\pm7}$.
- Пункт A расположен на дороге между пунктами B и C. Из пункта A в пункт B вышел пешеход, а через час из пункта A вслед за ним выехал мотоциклист, догнал пешехода и, развернувшись, привез его в пункт C. На весь путь водитель потратил на 20 минут больше, чем если бы он сразу поехал в пункт C. Во сколько раз скорость мотоцикла больше скорости пешехода?
Решение:
Пусть скорость пешехода $v$, мотоцикла $kv$. Время движения мотоциклиста до встречи $t=\frac{1}{kv - v} = \frac{1}{v(k-1)}$.
Расстояние до встречи: $kv \cdot t = \frac{k}{k-1}$.
Оставшийся путь до C: $\frac{k}{k-1} + L$ (L — расстояние от A до C). Время обратного пути: $\frac{\frac{k}{k-1} + L}{kv}$. Суммарное время мотоциклиста: $\frac{1}{k-1} + \frac{\frac{k}{k-1} + L}{kv} = \frac{L}{kv} + \frac{1}{3}$.
Решаем уравнение: $\frac{k+1}{k(k-1)}=\frac{1}{3} \implies k^2 -4k -3=0.$ Корень $k=2+\sqrt{7}$.
Ответ: $\boxed{2+\sqrt{7}}$.
- На доске последовательно выписаны такие четыре числа, что каждое следующее из них на одну и ту же величину больше предыдущего. Сумма квадратов этих чисел равна 80, а сумма их же кубов равна 0. Найдите выписанные числа.
Решение:
Пусть числа: $a, a+d, a+2d, a+3d$. По условию: \[ \begin{cases} 4a^2 + 12ad + 14d^2 = 40,\\ 4a^3 + 18a^2d + 42ad^2 + 36d^3 = 0. \end{cases} \] Подставляя $a = md$ во второе уравнение, находим корень $m=-\frac{3}{2}$.
Решаем первое уравнение с $d=\pm4$, получаем последовательность: $-6, -2, 2, 6$ или $6, 2, -2, -6$ (равенства выполняются).
Ответ: $\boxed{-6,\; -2,\; 2,\; 6}$.
- Найдите наибольшее значение $n$, при котором утвердительное количество всех $n$-значных натуральных чисел, содержащих цифру 4 (в своей десятичной записи), меньше удвоенного количества всех $n$-значных чисел, не содержащих цифру 4.
Решение:
Число $n$-значных без четверок: $8 \cdot9^{n-1}$ (первая цифра 9 вариантов, остальные 9). Число с четверками: $9 \cdot10^{n-1} -8 \cdot9^{n-1}$. Неравенство: \[ 9 \cdot10^{n-1} -8 \cdot9^{n-1} < 16 \cdot9^{n-1} \implies (10/9)^{n-1} < 24/9. \] Логарифмирование: $(n-1)\ln(10/9) < \ln(8/3) \implies n=10$ (максимальное).
Ответ: $\boxed{10}$.
- Катет $AC$ прямоугольного треугольника $ABC$ равен 17. Найдите длину его другого катета $BC$, если известно, что наименьшее значение длины гипотенузы всевозможных прямоугольных треугольников с катетами, параллельными катетам треугольника $ABC$, и вершинами, лежащими на разных его сторонах (не в вершинах), равно 8.
Решение:
Пусть длина $BC = b$. Минимальная гипотенуза для вписанных треугольников соответствует случаю касания линии гипотенузы с гипотенузой $AB$. Уравнение $AB$: $y = -\frac{17}{b}x +17$. Минимальное расстояние между (одной вершиной на $BC$), (другой на $AC$) и касательной к $AB$ дает уравнение $\frac{1}{\sqrt{(\frac{17}{b})^2 +1}} =8 \implies b=34\sqrt{2}$. Корень $BC=34\sqrt{2}/2=17\sqrt{2}$.
Ответ: $\boxed{17\sqrt{2}}$.
Материалы школы Юайти