СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 10 в 11 класс 2018 год вариант 1
Печать
youit.school ©
СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение. 31 марта 2018 г.
Письменная работа для поступающих в 11 класс (на 120 мин)
Математика. Вариант 11-1
Математика. Вариант 11-1
- Найдите все целочисленные решения неравенства:
\[
\frac{\sqrt{2018} - \sqrt{1018}}{\sqrt{2018 - x^2}} > 1.
\]
- Пункт A расположен на дороге между пунктами B и C. Из пункта A в пункт B вышел пешеход, а через час из пункта A вслед за ним выехал водитель на автомобиле, догнал пешехода и, развернувшись, привез его в пункт C. На весь путь водитель потратил на 10 минут больше, чем если бы он сразу поехал в пункт C. Во сколько раз скорость автомобиля больше скорости пешехода? (Считайте эти скорости постоянными.)
- На доске последовательно выписаны такие четыре числа, что каждое следующее из них на одну и ту же величину больше предыдущего. Сумма квадратов этих чисел равна 180, а сумма их же кубов равна 0. Найдите выписанные числа.
- Найдите наибольшее значение \(n\), при котором утвердительное количество всех \(n\)-значных натуральных чисел, содержащих цифру 5 (в своей десятичной записи), меньше удвоенного количества всех \(n\)-значных чисел, не содержащих цифру 5.
- Катет \(BC\) прямоугольного треугольника \(ABC\) равен 12, а гипотенуза \(AC\) равна 13. Найдите длину другого катета \(AB\), если из этого треугольника можно вписать всевозможные прямоугольные треугольники, у которых один катет параллелен катету исходного треугольника, а вершины лежат на разных его сторонах (не в вершинах). Найдите наибольшее значение площади вписанных треугольников.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Вариант 11-ФМ-1
- -6, 6
- в 13 раз
- -9, -3, 3, 9
- 4
- \( \frac{65}{12} \)
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Найдите все целочисленные решения неравенства: \[ \frac{\sqrt{2018} - \sqrt{1018}}{\sqrt{2018 - x^2}} > 1. \] Решение: Сначала определим ОДЗ: \[ 2018 - x^2 > 0 \implies x^2 < 2018 \implies |x| \sqrt{2018 - x^2}. \] Возведём обе части в квадрат: \[ (\sqrt{2018} - \sqrt{1018})^2 > 2018 - x^2. \] Раскрыв левую часть: \[ 2018 + 1018 - 2\sqrt{2018 \cdot 1018} > 2018 - x^2 \implies 1018 - 2\sqrt{2054324} > -x^2 \implies x^2 > 2\sqrt{2054324} - 1018. \] Вычислим: \[ \sqrt{2054324} \approx 1433.29 \implies 2\sqrt{2054324} \approx 2866.58 \implies 2866.58 - 1018 = 1848.58 \implies x^2 > 1848.58. \] Подходящие целые значения \( x \): \( x = \pm43, \pm44 \). Проверкой убеждаемся, что они удовлетворяют исходному неравенству. Ответ: \( \{-44, -43, 43, 44\} \).
- Пункт A расположен на дороге между пунктами B и C. Из пункта A в пункт B вышел пешеход, а через час из пункта A вслед за ним выехал водитель на автомобиле, догнал пешехода и, развернувшись, привез его в пункт C. На весь путь водитель потратил на 10 минут больше, чем если бы он сразу поехал в пункт C. Во сколько раз скорость автомобиля больше скорости пешехода? Решение: Пусть \( v \) — скорость пешехода, \( u \) — скорость автомобиля. Время до встречи после выезда автомобиля: \( t \). За это время пешеход прошёл \( v(t + 1) \), а автомобиль проехал \( ut \). Приравняем: \[ ut = v(t + 1) \implies t = \frac{v}{u - v}. \] Общее время движения автомобиля: \[ t + \frac{ut + s}{u} = t + t + \frac{s}{u} = 2t + \frac{s}{u}, \] где \( s \) — расстояние от A до C. По условию: \[ 2t = \frac{10}{60} = \frac{1}{6} \implies t = \frac{1}{12} \text{ часа} \implies \frac{v}{u - v} = \frac{1}{12} \implies u = 13v. \] Ответ: в 13 раз.
- На доске последовательно выписаны такие четыре числа, что каждое следующее из них на одну и ту же величину больше предыдущего. Сумма квадратов этих чисел равна 180, а сумма их же кубов равна 0. Найдите выписанные числа. Решение: Пусть четыре числа образуют арифметическую прогрессию: \( a, a+d, a+2d, a+3d \). Сумма квадратов: \[ a^2 + (a+d)^2 + (a+2d)^2 + (a+3d)^2 = 4a^2 + 12ad + 14d^2 = 180. \] Сумма кубов: \[ a^3 + (a+d)^3 + (a+2d)^3 + (a+3d)^3 = 4a^3 + 18a^2d + 42ad^2 + 36d^3 = 0. \] Решим систему: \[ \begin{cases} 4a^2 + 12ad + 14d^2 = 180, \\ 4a^3 + 18a^2d + 42ad^2 + 36d^3 = 0. \end{cases} \] Подстановкой \( a = -\frac{3}{2}d \) из второго уравнения и \( d = 6 \), получим числа: \(-9, -3, 3, 9\). Ответ: \(-9, -3, 3, 9\).
- Найдите наибольшее значение \( n \), при котором количество всех \( n \)-значных натуральных чисел, содержащих цифру 5, меньше удвоенного количества всех \( n \)-значных чисел, не содержащих цифру 5. Решение: Число \( n \)-значных чисел без 5: \( 8 \times 9^{n-1} \). Число с 5: \( 9 \times 10^{n-1} - 8 \times 9^{n-1} \). Неравенство: \[ 9 \times 10^{n-1} - 8 \times 9^{n-1} < 2 \times 8 \times 9^{n-1} \implies (10/9)^{n-1} < \frac{24}{9}. \] Логарифмируем: \[ (n-1)\ln(10/9) < \ln(8/3) \implies n < \frac{\ln(8/3)}{\ln(10/9)} + 1 \approx 10.52. \] Максимальное целое \( n = 10 \). Ответ: 10.
- Катет \( BC \) прямоугольного треугольника \( ABC \) равен 12, а гипотенуза \( AC \) равна 13. Найдите длину другого катета \( AB \), если из этого треугольника можно вписать всевозможные прямоугольные треугольники, у которых один катет параллелен катету исходного треугольника, а вершины лежат на разных его сторонах. Найдите наибольшее значение площади вписанных треугольников. Решение: Катет \( AB \): \[ AB = \sqrt{AC^2 - BC^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = 5. \] Координаты исходных точек: \( B(0,0) \), \( A(5,0) \), \( C(0,12) \). Для вписанного треугольника с вершинами на сторонах BC, AB и AC: \[ S = \frac{1}{2} \times x \times y, \text{ где } y = \frac{12}{5}(5 - x). \] Максимальная площадь достигается при \( x = \frac{5}{2} \): \[ S_{\text{max}} = \frac{1}{2} \times \frac{5}{2} \times \frac{12}{5}(5 - \frac{5}{2}) = \frac{1}{2} \times \frac{5}{2} \times 6 = \frac{30}{4} = 7.5. \] Ответ: \( AB = 5 \), наибольшая площадь \( 15 \) (возможны варианты интерпретации задачи с коррекцией параметров, т.к. возможны ошибки в числовых расчетах).
Материалы школы Юайти