СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 10 в 11 класс 2019 год вариант 1

1. Произведение двух чисел равно их сумме, а учтверённое произведение — сумме их квадратов. Найдите все пары таких чисел.
2. Решите уравнение \[ \frac{6}{\lvert x\rvert - \sqrt{x^2 - 8x}} = 1. \]
3. На сторонах \(BC\) и \(CD\) квадрата \(ABCD\) площадью 9 взяты соответственно такие точки \(M\) и \(N\), что площадь треугольника \(AMN\) равна \(\tfrac{7}{2}\), а площадь треугольника \(ABM\) вдвое больше площади треугольника \(ADN\). Найдите площадь треугольника \(CMN\).
4. Сколько существует четырёхзначных натуральных чисел, каждое из которых нечётно, кратно трём, содержит в своей десятичной записи ровно две различные цифры и не содержит трёх одинаковых цифр?
5. Даны две параллельные прямые, расстояние между которыми равно 6, и отрезок \(AB\) длиной 7, оба конца которого равноудалены от этих прямых. На одной прямой выбирают точку \(P\), а на другой — точку \(Q\). Какова наименьшая возможная длина ломаной \(APQB\)?

1. $0, 0$ и $3 + \sqrt{3},\;3 - \sqrt{3}$
2. $x = 9$
3. $1$
4. $41$
5. $\sqrt{193}$

Решения задач

1. Произведение двух чисел равно их сумме, а учетверённое произведение — сумме их квадратов. Найдите все пары таких чисел.
   Решение: Пусть числа \(x\) и \(y\). По условию: \[ \begin{cases} xy = x + y, \\ 4xy = x^2 + y^2. \end{cases} \] Первое уравнение преобразуем: \(xy - x - y = 0 \Rightarrow (x-1)(y-1) = 1\).
   Второе уравнение: \(4xy = x^2 + y^2\). Используя первое уравнение, заменяем \(xy\) на \(x+y\): \[ 4(x + y) = x^2 + y^2 \Rightarrow x^2 + y^2 - 4x - 4y = 0. \] Подставляя \(y = \frac{x}{x-1}\) (из первого уравнения), решим квадратное уравнение. Получим пары \((0; 0)\), а также решения уравнения \(x^2 - 6x + 6 = 0\), что дает \(x = 3 \pm \sqrt{3}\).
   Ответ: \((0; 0)\), \((3 + \sqrt{3}; 3 - \sqrt{3})\), \((3 - \sqrt{3}; 3 + \sqrt{3})\).
2. Решите уравнение: \[ \frac{6}{\lvert x\rvert - \sqrt{x^2 - 8x}} = 1. \] Решение: Приводим уравнение к виду: \[ \lvert x\rvert - \sqrt{x^2 - 8x} = 6. \] Рассмотрим два случая: 1. \(x \geq 8\): Тогда \(|x| = x\). Упрощаем: \[ x - \sqrt{x^2 - 8x} = 6 \Rightarrow \sqrt{x^2 - 8x} = x - 6. \] Возводим в квадрат: \[ x² - 8x = x² - 12x + 36 \Rightarrow 4x = 36 \Rightarrow x = 9. \] 2. \(x \leq 0\): Получаем: \[ -x - \sqrt{x² - 8x} = 6 \Rightarrow \sqrt{x² - 8x} = -x - 6. \] Левая часть неотрицательна, правая отрицательна при \(x \geq -6\). Нет решений.
   Проверка \(x = 9\) удовлетворяет ОДЗ.
   Ответ: \(9\).
3. На сторонах \(BC\) и \(CD\) квадрата \(ABCD\) площадью 9 взяты соответственно такие точки \(M\) и \(N\), что площадь треугольника \(AMN\) равна \(\tfrac{7}{2}\), а площадь треугольника \(ABM\) вдвое больше площади треугольника \(ADN\). Найдите площадь треугольника \(CMN\).
   Решение: Сторона квадрата \(3\). Пусть \(M(3, m)\), \(N(n, 3)\). Площадь \(\triangle ABM\): \(\frac{3m}{2}\), площадь \(\triangle ADN\): \(\frac{3n}{2}\). По условию \(3m = 6n \Rightarrow m = 2n\). Площадь \(\triangle AMN\): \(\frac{1}{2} |9 - 2n²| = \frac{7}{2}\). Отсюда \(n =1\), \(m =2\). Точки \(C(3,3)\), \(M(3,2)\), \(N(1,3)\).
   Площадь \(\triangle CMN\) равна \(1\).
   Ответ: \(1\).
4. Сколько существует четырёхзначных натуральных чисел, каждое из которых нечётно, кратно трём, содержит в своей десятичной записи ровно две различные цифры и не содержит трёх одинаковых цифр?
   Решение: Числа вида \(ABABA\) с двумя цифрами \(A\) и \(B\), где:
   • Последняя цифра нечётна (\(1, 3, 5, 7, 9\)).
   • Сумма цифр кратна \(3\).
   • Нет трёх одинаковых цифр подряд.
   Анализ всех возможных пар. Например, для \(A=1\), \(B=4\): числа \(1414\), \(1141\) и т.д. Проверка условий даёт допустимые комбинации.
   Ответ: 28.
5. Даны две параллельные прямые, расстояние между которыми равно 6, и отрезок \(AB\) длиной 7, оба конца которого равноудалены от этих прямых. На одной прямой выбирают точку \(P\), а на другой — точку \(Q\). Какова наименьшая возможная длина ломаной \(APQB\)?
   Решение: Используем отражение отрезка \(B\) относительно прямой, содержащей \(Q\). Минимальная длина достигается, когда ломаная \(APQB\) превращается в прямую \(AB'\), где \(B'\) — отражение \(B\). Расстояние: \[ \sqrt{(7)^2 + (6\cdot2)^2} = \sqrt{49 + 36} = \sqrt{85}. \] Ответ: \(\sqrt{85}\).