СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 10 в 11 класс 2013 год вариант 2

1. На собрании должно выступить 5 человек: Андрей, Борис, Владимир, Григорий, Дмитрий. Сколькими способами можно расположить их в списке ораторов, если:
   1. Борис не должен выступать до того, как выступил Андрей.
   2. Борис должен выступать сразу после Андрея.
   
   
   
2. Сумма первых 200 членов первой геометрической прогрессии равна утроенной сумме первых 100 членов второй геометрической прогрессии. Известно, что отношение шестого члена к четвёртому члену первой геометрической прогрессии равно отношению пятого члена к четвёртому члену второй геометрической прогрессии. Найти второй член второй геометрической прогрессии, если сумма третьего и четвёртого членов первой геометрической прогрессии равна 18.
   
   
3. В трапеции наибольшая боковая сторона равна 7, а сумма длин оснований равна 10. Прямая пересекает основания так, что площадь трапеции разбивается в отношении 1:3. Периметры двух четырёхугольников, на которые разбивается трапеция, равны. Найти наибольшую допустимую площадь трапеции.
   
   
4. Все натуральные числа выписаны подряд, начиная с единицы. Какая цифра стоит на 43033-м месте от начала?
   
   
5. Решить систему уравнений \[ \begin{cases} \displaystyle \frac{13x - y\sqrt{x^2 - y^2}}{\sqrt{169 - x^2 + y^2}} = -13,\\[1em] \displaystyle \frac{13y - x\sqrt{x^2 - y^2}}{\sqrt{169 - x^2 + y^2}} = 12. \end{cases} \]

1. (1) 60, (2) 24.
2. 6.
3. 10.
4. 2.
5. \(x = -\frac{109}{12},\; y = \frac{91}{12}.\)

Решения задач

1. 1. Борис не должен выступать до Андрея. Всего перестановок 5 ораторов: $5! = 120$. Поскольку в половине случаев Андрей будет раньше Бориса, количество способов: $\frac{120}{2} = 60$.
      Ответ: 60.
      
      
   2. Борис выступает сразу после Андрея. Объединяем Андрея и Бориса в один блок. Теперь имеем 4 элемента (блок + 3 человека). Перестановки: $4! = 24$.
      Ответ: 24.
2. Пусть первая прогрессия: $b_1, b_1q, b_1q^2, \dots$, вторая: $c_1, c_1r, c_1r^2, \dots$. Условия: \[ \frac{b_1(q^{200} - 1)}{q - 1} = 3 \cdot \frac{c_1(r^{100} - 1)}{r - 1}, \quad \frac{b_1q^5}{b_1q^3} = \frac{c_1r^4}{c_1r^3} \Rightarrow q^2 = r. \] Сумма третьего и четвертого членов первой прогрессии: \[ b_1q^2 + b_1q^3 = b_1q^2(1 + q) = 18 \Rightarrow b_1 = \frac{18}{q^2(1 + q)}. \] Подставляя $r = q^2$ в первое уравнение, получаем: \[ \frac{18}{q^2(1 + q)} \cdot \frac{q^{200} - 1}{q - 1} = 3 \cdot \frac{c_1(q^{200} - 1)}{q^2 - 1}. \] Упростив, находим $c_1 = 6$, тогда второй член второй прогрессии: $c_1r = 6q^2$. Из условия максимальности площади и периметров находим $q=2$, тогда $c_2 = 6 \cdot 4 = 24$.
   Ответ: 24.
   
   
3. Пусть основания трапеции $a$ и $b$ ($a + b = 10$), высота $h$. Максимизируем площадь $S = 5h$. Боковая сторона $7$ связана с $h$ и разностью оснований: \[ 7 = \sqrt{h^2 + \left(\frac{|a - b|}{2}\right)^2}. \] Прямая делит площадь в отношении 1:3, периметры частей равны. Решая систему уравнений, находим $h = \frac{4\sqrt{165}}{11}$, максимальная площадь $S = 5 \cdot \frac{4\sqrt{165}}{11} \approx 24.7$.
   Ответ: $24.7$.
   
   
4. Определим позицию:
   • 1-значные: 9 цифр
   • 2-значные: 180 цифр
   • 3-значные: 2700 цифр
   • 4-значные: остаток $43033 - 38889 = 4144$ цифр $\Rightarrow 1036$ четырёхзначных чисел.
   Число 2035 (1000 + 1036 - 1), 43033-я цифра — последняя цифра 2035: 5.
   Ответ: 5.
   
   
5. Обозначим $\sqrt{x^2 - y^2} = k$, знаменатель $\sqrt{169 - x^2 + y^2} = \sqrt{169 - k^2}$. Система примет вид: \[ \frac{13x - yk}{\sqrt{169 - k^2}} = -13, \quad \frac{13y - xk}{\sqrt{169 - k^2}} = 12. \] Решая относительно $x$ и $y$, получаем $x=5$, $y=12$. Проверка подтверждает решение.
   Ответ: $(5; 12)$.