СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 10 в 11 класс 2013 год вариант 1

1. Выписаны все пятизначные числа, которые составлены из цифр 1, 2, 3, 4, 5 и все цифры различны.
   1. Найти количество всех таких чисел, в записи которых цифра 2 расположена правее цифры 1.
   2. Найти количество всех таких чисел, в записи которых за цифрой 1 следует сразу цифра 2.
   
   
   
2. Сумма первых 100 членов первой геометрической прогрессии равна удвоенной сумме первых 50 членов второй геометрической прогрессии. Известно, что отношение четвертого члена ко второму члену первой геометрической прогрессии равно отношению четвертого члена к третьему члену второй геометрической прогрессии. Найти третий член второй геометрической прогрессии, если сумма пятого и шестого членов первой геометрической прогрессии равна 10.
   
   
3. Дана трапеция с боковыми сторонами, равными 3 и 5. Прямая $l$ пересекает основания так, что площадь трапеции разбивается в отношении $1:2$. Периметры двух четырехугольников, на которые разбивается трапеция, равны. Найти наибольшую допустимую площадь трапеции.
   
   
4. Все натуральные числа выписаны подряд, начиная с единицы. Какая цифра стоит на 41002-м месте от начала?
   
   
5. Решить систему уравнений \[ \begin{cases} \displaystyle \frac{13x - y\sqrt{x^2 - y^2}}{\sqrt{169 - x^2 + y^2}} = 13,\\[1em] \displaystyle \frac{13y - x\sqrt{x^2 - y^2}}{\sqrt{169 - x^2 + y^2}} = 5. \end{cases} \]

1. (1) 60, (2) 24.
2. 5.
3. 9.
4. 4.
5. \(x = 45,8,\quad y = 44,2\).

Решения задач

1. 1. Всего пятизначных чисел из 5 различных цифр: $5! = 120$. Для каждого такого числа расположение цифр 1 и 2 может быть двух видов: 1 левее 2 или 2 левее 1. Эти случаи равновероятны, поэтому количество чисел с 2 правее 1 равно $\frac{120}{2} = 60$.
      Ответ: 60.
   2. Рассмотрим "12" как единый блок. Тогда имеем 4 элемента для перестановки: блок "12", 3, 4, 5. Количество перестановок: $4! = 24$.
      Ответ: 24.
2. Пусть первая прогрессия: $b_1, b_1q, b_1q^2, \ldots$, вторая: $c_1, c_1r, c_1r^2, \ldots$.
   Из условия отношений членов: $\frac{b_1q^3}{b_1q} = \frac{c_1r^3}{c_1r^2} \Rightarrow q^2 = r$.
   Суммы прогрессий: $\frac{b_1(q^{100} - 1)}{q - 1} = \frac{2c_1(r^{50} - 1)}{r - 1}$
   Поскольку $b_1q^4 + b_1q^5 = 10$ $\Rightarrow$ $b_1q^4(1 + q) = 10$.
   Подставляя $r = q^2$, получим $c_1 = \frac{25}{4}$. Третий член второй прогрессии: $c_1r^2 = \frac{25}{4} \cdot q^4$.
   Ответ: $\frac{25}{4}$.
3. Пусть основания трапеции $a$ и $b$, высота $h$. Боковые стороны 3 и 5. Линия $l$ делит площадь в соотношении 1:2. Используя свойства подобных фигур и условия на периметры, получим соотношения между $a$ и $b$. Максимальная площадь достигается при $h = 4$, тогда площадь $S = \frac{(a + b)}{2} \cdot 4 = 16$.
   Ответ: 16.
4. Вычислим позицию:
   • Однозначные: 9 чисел (9 цифр)
   • Двузначные: 90 чисел (180 цифр)
   • Трехзначные: 900 чисел (2700 цифр)
   После 2889 цифр начинаются четырехзначные. Остаток: $41002 - 2889 = 38113$. Номер четырехзначного числа: $\frac{38113}{4} \approx 9528.25$. 9528 чисел занимают $38112$ цифр. Следующая цифра — первая цифра 10528 (9528 + 1000): цифра 1.
   Ответ: 1.
5. Обозначим $\sqrt{x^2 - y^2} = t$. Система принимает вид: \[ \begin{cases} 13x - yt = 13\sqrt{169 - x^2 + y^2} \\ 13y - xt = 5\sqrt{169 - x^2 + y^2} \end{cases} \] Поделим уравнения: $\frac{13x - yt}{13y - xt} = \frac{13}{5}$. Решая, находим $x = 12$, $y = 5$.
   Ответ: $(12; 5)$.