СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 10 в 11 класс 2018 год вариант 9

1. Найдите все целочисленные решения неравенства: \[ \frac{1}{x - \sqrt{2218}} < \frac{1}{x - \sqrt{2018}}. \]
   
   
2. Из пункта A в пункт B вышел пешеход. Через 15 минут из пункта A выехал велосипедист, который, доехав до пункта B, сразу повернул обратно и вернулся в пункт A. По пути в пункт B велосипедист догнал пешехода через 5 минут после выезда из пункта A, а еще через 10 минут снова встретил его на обратном пути (оба они двигались с постоянными скоростями). За сколько минут пешеход добрался из пункта A до пункта B?
   
   
   
3. Найдите количество четырехзначных (в десятичной системе счисления) натуральных чисел, кратных 9 и не кратных ни 39, ни 15.
   
   
   
4. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) на катете \(BC = 4\) взята точка \(E\), на гипотенузе \(AB = 5\) — точка \(F\) так, что \(BE = 3\) и \(BF = 3\). Каково наименьшее значение суммы \(EG + FG\), если точка \(G\) лежит на катете \(AC\)?
   
   
   
5. Найдите все значения \(a\), при каждом из которых отношение корней квадратного трехчлена \[ f(x) = x^2 - 2\sqrt{5x} + a^2 - 4a + 8 \] является целым числом (кратный корень считается, как два одинаковых корня).

1. 45, 46, 47
2. 45
3. 739
4. \( \sqrt{10} \)
5. 1, \( \frac{4}{3} \), \( \frac{8}{3} \), 3

Решения задач

1. Найдите все целочисленные решения неравенства: \[ \frac{1}{x - \sqrt{2218}} < \frac{1}{x - \sqrt{2018}}. \] Решение: Преобразуем неравенство: \(\frac{1}{x - \sqrt{2218}} - \frac{1}{x - \sqrt{2018}} < 0 \implies \frac{\sqrt{2218} - \sqrt{2018}}{(x - \sqrt{2218})(x - \sqrt{2018})} \sqrt{2018}\), числитель положителен. Знаменатель отрицателен при \(\sqrt{2018} < x < \sqrt{2218}\). Округляя, получаем целые \(x = 45, 46, 47\).
   Ответ: \(45, 46, 47\).
   
   
2. Из пункта A в пункт B вышел пешеход. Через 15 минут из A выехал велосипедист. Велосипедист догнал пешехода через 5 минут после выезда, а через 10 минут после этого встретил его на обратном пути. Определите время пешехода из A в B. Решение: Обозначим скорости пешехода \(v\) и велосипедиста \(u\). После первой встречи: \[ u = 4v. \] Пусть расстояние \(AB = S\). Время движения велосипедиста до B и обратно: \[ t_{\text{вб}} = \frac{S}{4v}, \quad t_{\text{вб}} + \frac{S - v/3}{5v} = \frac{1}{6}. \] Решая уравнения, находим \(S = \frac{3}{4}v\). Время пешехода: \[ T = \frac{S}{v} = \frac{3}{4} \text{ часа} = 45 \text{ минут.} \] Ответ: 45 минут.
   
   
3. Найдите количество четырехзначных чисел, кратных 9 и не кратных 39 или 15. Решение: Всего четырёхзначных чисел, кратных 9: 1000. Используя включение-исключение: \[ \text{Кратные }39 \cap 9 \rightarrow \text{HOК}(9,39) = 117: 77 \text{ чисел}, \] \[ \text{Кратные }15 \cap 9 \rightarrow \text{HOК}(9,15) = 45: 200 \text{ чисел}, \] \[ \text{HOК}(9,39,15)=585: 16 \text{ чисел}. \] Находя разность: \[ 1000 - (77 + 200 - 16) = 739. \] Ответ: 739.
   
   
4. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с \(BC=4\), \(AB=5\) точки \(E\) и \(F\) расположены так, что \(BE=3\), \(BF=3\). Найдите минимум суммы \(EG + FG\) при \(G\) на \(AC\). Решение: Координаты точек \(E(0,1)\), \(F(1.8,1.6)\). Используя отражение \(F'\) относительно \(AC\): \[ EG + FG = \text{расстояние }EE’. \] \[ EF’ = \sqrt{(1.8 - 0)^2 + (-1.6 -1)^2} = \sqrt{10}. \] Ответ: \(\sqrt{10}\).
   
   
5. Найдите все \(a\), при которых отношение корней квадратного трёхчлена \[ f(x) = x^2 - 2\sqrt{5}x + a^2 -4a +8 \] является целым. Решение: Используя теорему Виета и условия: \[ \frac{20k}{(k +1)^2} = a^2 -4a +8. \] При допустимых целых \(k = 1,2\), находим \(a\): \[ k =1: a =1,3; \quad k=2: a=\frac{4}{3}, \frac{8}{3}. \] Ответ: \(1, 3, \dfrac{4}{3}, \dfrac{8}{3}\).