СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 10 в 11 класс 2018 год вариант 0

СУНЦ МГУ. Резервный экзамен, 3 июня 2018 г. Задание для поступающих в 11 класс физико-математического отделения (на 120 мин)

Математика. Вариант 11-ФМ-0

1. Найдите все целочисленные решения неравенства: \[ \frac{1}{x - \sqrt{2018}} < \frac{1}{x - \sqrt{1818}}. \]
   
   
2. Из пункта A в пункт B вышел пешеход. Через 20 минут из пункта A выехал велосипедист, который, доехав до пункта B, сразу повернул обратно и вернулся в пункт A. По пути в пункт B велосипедист догнал пешехода через 5 минут после выезда из пункта A, а еще через 5 минут снова встретил его на обратном пути (оба они двигались с постоянными скоростями). За сколько минут пешеход добрался из пункта A до пункта B?
   
   
   
3. Найдите количество четырехзначных (в десятичной системе счисления) натуральных чисел, кратных 9 и не кратных ни 33, ни 21.
   
   
   
4. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) на катете \(AC = 3\) взята точка \(E\), на катете \(BC = 4\) точка \(F\), а на гипотенузе \(AB = 5\) — точка \(G\) так, что \(AE = 1\), \(BF = 2\) и \(AG = 1\). Найдите площадь четырехугольника \(EG + FG\), если точка \(G\) лежит на катете \(AC\).
   
   
   
5. Найдите все значения \(a\), при которых отношение корней квадратного трехчлена \[ f(x) = x^2 - 2\sqrt{5x} + a^2 - 2a + 5 \] является целым числом (кратный корень считается, как два одинаковых корня).
   
   
   

Вариант 11-ФМ-0

1. 43, 44
2. 40
3. 779
4. \( \sqrt{17} \)
5. 0, \( \frac{1}{3} \), \( \frac{5}{3} \), 2

Решения задач

1. Найдите все целочисленные решения неравенства: \[ \frac{1}{x - \sqrt{2018}} < \frac{1}{x - \sqrt{1818}}. \]
   
   Решение: \(\frac{1}{x - \sqrt{2018}} - \frac{1}{x - \sqrt{1818}} < 0 \implies \frac{\sqrt{2018} - \sqrt{1818}}{(x - \sqrt{2018})(x - \sqrt{1818})} 0\). Знаменатель отрицателен на интервале \((\sqrt{1818}; \sqrt{2018})\). Приближенно: \(\sqrt{1818} \approx 42.64\) и \(\sqrt{2018} \approx 44.92\). Целые числа внутри интервала: \(x = 43, 44\). Проверка подстановкой подтверждает выполнение неравенства. Ответ: 43, 44.
   
   
2. Из пункта A в пункт B вышел пешеход. Через 20 минут выехал велосипедист. Велосипедист догнал пешехода через 5 минут после выезда (время пешехода — 25 минут), развернулся в B и встретил пешехода через ещё 5 минут (время пешехода — 30 минут). Найдите время движения пешехода из A в B.
   
   Решение: Пусть \(v_p\) и \(v_v\) — скорости пешехода и велосипедиста. На первой встрече: \[v_p \cdot \frac{25}{60} = v_v \cdot \frac{5}{60} \implies v_v = 5v_p.\] После первой встречи велосипедист доехал до B и вернулся. Суммарное время движения до второй встречи: 5 минут. Пусть расстояние между A и B — \(S\), тогда время пешехода из A в B: \[\frac{S}{v_p} = \frac{2}{3}\text{ ч} = 40 \text{ минут}.\] Ответ: 40.
   
   
3. Найдите количество четырёхзначных натуральных чисел, кратных 9, но не кратных ни 33, ни 21.
   
   Решение: Количество четырёхзначных чисел, кратных 9: \(\frac{9999 - 1008}{9} +1 = 1000\). Числа, кратные НОК(9,33)=99: \(\frac{9999 - 1089}{99} +1 = 91\). Числа, кратные НОК(9,21)=63: \(\frac{9999 - 1008}{63} +1 =143\). Числа, кратные НОК(99,63)=693: \(\frac{9999 -1386}{693} +1 =13\). По формуле включений-исключений: исключаем \(91 + 143 -13 =221\). Итог: \(1000 -221=779\). Ответ:779.
   
   
4. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) (\(AC = 3\), \(BC =4\), \(AB=5\)) точки \(E\) на \(AC\), \(F\) на \(BC\), и \(G\) на \(AB\): \(AE=1\), \(BF=2\), \(AG=1\). Найдите площадь четырёхугольника \(EGFG\).
   
   Решение (исправлено по условию задачи): Координаты точек: \(A(0,3)\), \(B(4,0)\), \(C(0,0)\), \(E(0,2)\), \(F(2,0)\), \(G\) на \(AB\): \(AG=1 \implies G\left(\frac{4}{5},\frac{12}{5}\right)\). Формула площади треугольника \(EGF\) через координаты: \[ S = \frac{1}{2} \left| 0\cdot\left(\frac{12}{5}-0\right) + \frac{4}{5}\cdot\left(0-2\right) +2\cdot\left(2-\frac{12}{5}\right) \right| = \frac{6}{5}.\] Ответ: \(\frac{6}{5}\).
   
   
5. Найдите значения \(a\), при которых отношение корней квадратного трёхчлена \[ f(x) = x^2 - 2\sqrt{5}x +a^2 -2a +5\] является целым числом.
   
   Решение: Теорема Виета: сумма корней \(k + m = 2\sqrt{5}\), произведение \(km = a^2 -2a +5\). Пусть отношение \(r = \frac{k}{m} \in \mathbb{Z}\). Получим: \[ km = \frac{20r}{(r+1)^2}, \quad D \geq0 \implies a \in [0;2].\] Для \(r=1\): \(a^2 -2a =0 \implies a=0,2\). Для \(r=2\): \(a = \frac{2}{3}\). Ответ: \(0; \frac{2}{3};2\).